Suma y resta de fracciones con distinto denominador

Introducción

Para hacer un bizcocho, Irene usa $\frac{1}{2}$ kg de harina y $\frac{1}{4}$ kg de azúcar. ¿Cuántos kilos pesan juntos? Si en el paquete de harina había $\frac{3}{4}$ kg, ¿cuánta harina queda?

Sumar $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ como $\frac{2}{6}$ sería un error: medios y cuartos son partes de tamaño distinto. Primero hay que expresarlas en partes iguales.

Explicación

Fracciones con el mismo denominador

Si las partes son del mismo tamaño, sumas o restas los numeradores y mantienes el denominador:

$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b} \qquad \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b}$

Ejemplo: $\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{7}{9}$.

Fracciones con distinto denominador

1. Calcula el m.c.m. de los denominadores. Será el denominador común.
2. Convierte cada fracción en una equivalente con ese denominador: divide el m.c.m. entre el denominador y multiplica el numerador por el resultado.
3. Suma o resta los numeradores.
4. Simplifica el resultado si se puede.

Números naturales y fracciones

Un número natural es una fracción con denominador 1: $2 = \frac{2}{1}$. Por eso $2 - \frac{3}{5} = \frac{10}{5} - \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$.

Repaso: el mínimo común múltiplo

Para hallar el m.c.m. descompón los números en factores primos y toma los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. Ejemplo: $12 = 2^2 \cdot 3$ y $18 = 2 \cdot 3^2$, así que $\text{m.c.m.}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$. Con números pequeños también sirve escribir los múltiplos del mayor hasta encontrar uno que sea múltiplo del otro.

Ejemplos

Ejemplo 1: el bizcocho. $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$. m.c.m.$(2, 4) = 4$. $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ kg. Queda de harina: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$ kg.

Ejemplo 2: tres fracciones. $\frac{5}{6} + \frac{3}{4} - \frac{2}{3}$. m.c.m.$(6, 4, 3) = 12$.

$\frac{10}{12} + \frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$.

Ejemplo 3: con simplificación. $\frac{7}{10} - \frac{1}{6}$. m.c.m.$(10, 6) = 30$.

$\frac{21}{30} - \frac{5}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$.

Ejemplo 4: un problema. Un grupo de amigos gasta $\frac{2}{5}$ de su bote en la entrada de un museo en Bilbao y $\frac{1}{3}$ en la comida. ¿Qué fracción del bote les queda?

Gastan $\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$. Queda $1 - \frac{11}{15} = \frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}$ del bote.

Recuerda

Solo se suman o restan numeradores cuando los denominadores son iguales. Si son distintos, reduce primero a común denominador con el m.c.m. Los denominadores nunca se suman entre sí.

Ejercicios

Básicos

1. Calcula: a) $\frac{3}{11} + \frac{6}{11}$; b) $\frac{9}{8} - \frac{5}{8}$; c) $\frac{4}{7} + \frac{2}{7} - \frac{1}{7}$.
2. Calcula y simplifica: a) $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$; b) $\frac{3}{4} - \frac{2}{5}$; c) $\frac{5}{12} + \frac{1}{8}$.
3. Calcula: a) $1 - \frac{3}{8}$; b) $3 + \frac{2}{5}$.

Avanzados

4. Calcula: $\frac{2}{3} + \frac{5}{6} - \frac{3}{4}$.
5. De un depósito lleno se gasta $\frac{1}{4}$ por la mañana y $\frac{3}{8}$ por la tarde. ¿Qué fracción del depósito queda?
6. Mario dice: "$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$". Explica su error con un dibujo o con un razonamiento y da el resultado correcto.

Reto

7. ¿Qué fracción hay que sumar a $\frac{3}{10}$ para obtener $\frac{4}{5}$?
8. Calcula $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$. ¿Cuánto le falta para llegar a 1? ¿Qué pasará si sigues sumando la mitad de la última fracción?

Soluciones

1. a) $\frac{9}{11}$. b) $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. c) $\frac{5}{7}$.
2. a) $\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. b) $\frac{15}{20} - \frac{8}{20} = \frac{7}{20}$. c) m.c.m. 24: $\frac{10}{24} + \frac{3}{24} = \frac{13}{24}$.
3. a) $\frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$. b) $\frac{15}{5} + \frac{2}{5} = \frac{17}{5}$.
4. m.c.m. 12: $\frac{8}{12} + \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
5. Se gasta $\frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$. Queda $\frac{3}{8}$ del depósito.
6. Mario ha sumado numeradores y denominadores. $\frac{2}{5}$ es menor que $\frac{1}{2}$, y al sumar algo positivo a $\frac{1}{2}$ el resultado no puede ser menor. Correcto: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
7. $\frac{4}{5} - \frac{3}{10} = \frac{8}{10} - \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
8. Con denominador 16: $\frac{8 + 4 + 2 + 1}{16} = \frac{15}{16}$. Falta $\frac{1}{16}$. Si sigues, cada vez falta la mitad que antes ($\frac{1}{32}$, $\frac{1}{64}$…): te acercas a 1 tanto como quieras, pero con un número finito de sumandos no llegas a 1.