Multiplicación y división de fracciones

Introducción

En una receta de croquetas para 4 personas se necesitan $\frac{3}{4}$ de litro de leche. Hoy cocinas solo la mitad de la receta. ¿Cuánta leche necesitas? Y otra pregunta: tienes una botella de $\frac{3}{2}$ litros de zumo y quieres llenar vasos de $\frac{1}{4}$ de litro. ¿Cuántos vasos salen?

La primera pregunta es una multiplicación de fracciones; la segunda, una división.

Explicación

Multiplicar fracciones

Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

"La mitad de $\frac{3}{4}$" significa $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$. La palabra "de" entre una fracción y una cantidad indica multiplicación, igual que en la lección 1.

Para multiplicar un número natural por una fracción, multiplica solo el numerador: $5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$.

Consejo: simplifica antes de multiplicar. En $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}$ puedes dividir el 4 y el 8 entre 4, y el 3 y el 9 entre 3: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$. Los números quedan más pequeños.

La fracción inversa

La inversa de $\frac{a}{b}$ es $\frac{b}{a}$: se dan la vuelta numerador y denominador. Una fracción por su inversa da 1: $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{10}{10} = 1$. El 0 no tiene inversa.

Dividir fracciones

Dividir entre una fracción es lo mismo que multiplicar por su inversa:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Muchos lo recuerdan como "productos cruzados": numerador por denominador arriba, denominador por numerador abajo.

¿Por qué funciona? Dividir $\frac{3}{2}$ entre $\frac{1}{4}$ pregunta cuántas veces cabe $\frac{1}{4}$ en $\frac{3}{2}$. En una unidad caben 4 cuartos, así que en $\frac{3}{2}$ caben $\frac{3}{2} \cdot 4 = 6$.

Multiplicar y dividir hacen cosas distintas con fracciones

• Multiplicar por una fracción menor que 1 da un resultado menor: $12 \cdot \frac{1}{3} = 4$.
• Dividir entre una fracción menor que 1 da un resultado mayor: $12 : \frac{1}{3} = 36$.

Ejemplos

Ejemplo 1: las croquetas. $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ de litro de leche.

Ejemplo 2: los vasos. $\frac{3}{2} : \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$ vasos.

Ejemplo 3: simplificar antes. $\frac{10}{21} \cdot \frac{14}{15}$. El 10 y el 15 se dividen entre 5; el 14 y el 21, entre 7:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$.

Ejemplo 4: fracción de una fracción. En un pueblo de Asturias, $\frac{3}{5}$ de los vecinos tienen huerto, y de ellos $\frac{2}{3}$ cultivan tomates. ¿Qué fracción del pueblo cultiva tomates? Si el pueblo tiene 450 vecinos, ¿cuántos son?

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ de los vecinos. $\frac{2}{5}$ de 450 $= 450 : 5 \cdot 2 = 180$ vecinos.

Recuerda

Para multiplicar fracciones, multiplica numeradores y denominadores. Para dividir, multiplica por la inversa de la segunda fracción. "La fracción de una fracción" se calcula multiplicando.

Ejercicios

Básicos

1. Calcula y simplifica: a) $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}$; b) $\frac{6}{5} \cdot \frac{10}{9}$; c) $4 \cdot \frac{3}{8}$.
2. Escribe la inversa de: a) $\frac{7}{3}$; b) 5; c) $\frac{1}{6}$.
3. Calcula: a) $\frac{3}{4} : \frac{2}{5}$; b) $\frac{5}{6} : \frac{5}{12}$; c) $6 : \frac{3}{4}$.

Avanzados

4. Una garrafa contiene 5 litros de aceite. ¿Cuántas botellas de $\frac{3}{4}$ de litro se pueden llenar del todo? ¿Cuánto aceite sobra?
5. Un rollo de cinta mide $\frac{15}{2}$ m. Se corta en trozos de $\frac{3}{8}$ m. ¿Cuántos trozos salen?
6. Sin calcular, decide si el resultado es mayor o menor que 20 y justifica: a) $20 \cdot \frac{4}{5}$; b) $20 : \frac{4}{5}$; c) $20 \cdot \frac{6}{5}$.

Reto

7. Un móvil cuesta 360 €. Laura paga $\frac{1}{4}$ al comprarlo y el resto en 6 plazos iguales. ¿Cuánto paga en cada plazo? ¿Qué fracción del precio es cada plazo?
8. ¿Por qué fracción hay que multiplicar $\frac{4}{9}$ para obtener $\frac{2}{3}$?

Soluciones

1. a) $\frac{10}{21}$. b) $\frac{60}{45} = \frac{4}{3}$. c) $\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
2. a) $\frac{3}{7}$. b) $\frac{1}{5}$. c) $6$.
3. a) $\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8}$. b) $\frac{5 \cdot 12}{6 \cdot 5} = \frac{60}{30} = 2$. c) $6 \cdot \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8$.
4. $5 : \frac{3}{4} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$. Se llenan 6 botellas del todo, que usan $6 \cdot \frac{3}{4} = \frac{18}{4} = 4{,}5$ litros. Sobra medio litro.
5. $\frac{15}{2} : \frac{3}{8} = \frac{15 \cdot 8}{2 \cdot 3} = \frac{120}{6} = 20$ trozos.
6. a) Menor, porque se multiplica por una fracción menor que 1 (resultado 16). b) Mayor, porque se divide entre una fracción menor que 1 (resultado 25). c) Mayor, porque $\frac{6}{5} > 1$ (resultado 24).
7. Al comprarlo paga $360 : 4 = 90$ €. Quedan 270 €, y cada plazo es $270 : 6 = 45$ €. Fracción: $\frac{3}{4} : 6 = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ del precio. Comprobación: $\frac{1}{8}$ de 360 es 45 €.
8. $\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$. Comprobación: $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.