Operaciones combinadas con fracciones y errores típicos

Introducción

En un examen aparece esta operación: $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}$. Dos compañeros obtienen resultados distintos: Álex dice $\frac{5}{6}$ y Sara dice $1$. Solo uno tiene razón. La diferencia está en el orden en que se hacen las operaciones.

Esta lección reúne todo lo que has aprendido sobre fracciones: jerarquía de operaciones, paso a decimal y los errores que más se repiten.

Explicación

Jerarquía de las operaciones

Con fracciones se sigue el mismo orden que con números naturales:

1. Paréntesis (y corchetes), de dentro hacia fuera.
2. Potencias.
3. Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
4. Sumas y restas, de izquierda a derecha.

En la operación del examen, primero va la multiplicación: $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. Luego la suma: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$. Tiene razón Sara. Álex sumó primero: $\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$, que sería el resultado si hubiera un paréntesis.

Potencias de fracciones

Se elevan el numerador y el denominador: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$. Cuidado: $\frac{2^2}{3}$ es otra cosa, porque ahí solo se eleva el numerador.

Fracciones y decimales

• De fracción a decimal: divide el numerador entre el denominador. $\frac{7}{8} = 0{,}875$ (decimal exacto). $\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots = 0{,}\overline{6}$ (decimal periódico).
• De decimal exacto a fracción: escribe el número sin coma sobre la potencia de 10 adecuada y simplifica. $0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$.

Una fracción irreducible da un decimal exacto solo si su denominador no tiene más factores primos que 2 y 5.

Errores típicos

Error	Ejemplo incorrecto	Correcto
Sumar denominadores	$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{6}$	$\frac{2}{3}$
Olvidar la jerarquía	$2 + \frac{1}{2} \cdot 4 = 10$	$2 + 2 = 4$
Invertir la primera fracción al dividir	$\frac{2}{5} : \frac{3}{4} = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4}$	$\frac{2}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{15}$
Simplificar sumandos	$\frac{3 + 5}{3} = 5$	$\frac{8}{3}$
Elevar solo el numerador	$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$
Restar un natural mal	$1 - \frac{2}{7} = \frac{1}{7}$	$\frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$

Solo se puede simplificar un factor que multiplica a todo el numerador y a todo el denominador, nunca un sumando.

Ejemplos

Ejemplo 1: con paréntesis. $\left(\frac{2}{3} - \frac{1}{6}\right) : \frac{3}{4}$.

Paréntesis: $\frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. División: $\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ejemplo 2: con potencia. $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{4}{5}$.

Potencia: $\frac{1}{4}$. Producto: $\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$. Resta: $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

Ejemplo 3: problema completo. La familia García reparte su presupuesto mensual de 2400 €: $\frac{1}{3}$ para el alquiler y $\frac{1}{4}$ para la comida. De lo que queda, $\frac{2}{5}$ van a gastos del coche y transporte. ¿Cuánto dinero queda libre?

Alquiler y comida: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$. Queda $\frac{5}{12}$, es decir, $2400 : 12 \cdot 5 = 1000$ €. Transporte: $\frac{2}{5}$ de 1000 € $= 400$ €. Libre: $1000 - 400 = 600$ €.

Recuerda

Paréntesis, potencias, multiplicaciones y divisiones, sumas y restas: en este orden, también con fracciones. Simplifica solo factores, nunca sumandos. Comprueba siempre si el resultado tiene un tamaño razonable.

Ejercicios

Básicos

1. Calcula: a) $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$; b) $\left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right) \cdot \frac{3}{4}$.
2. Pasa a decimal e indica si es exacto o periódico: a) $\frac{3}{20}$; b) $\frac{5}{6}$; c) $\frac{9}{4}$.
3. Pasa a fracción irreducible: a) $0{,}6$; b) $0{,}125$; c) $2{,}45$.

Avanzados

4. Calcula: $\frac{5}{6} - \frac{1}{2} : \frac{3}{4} + \left(\frac{1}{3}\right)^2$.
5. Encuentra el error y corrígelo: $\frac{4 + 6}{4} = 6$.
6. Un camión de reparto en Zaragoza lleva 1200 kg de fruta. Por la mañana entrega $\frac{3}{8}$ de la carga y por la tarde $\frac{2}{5}$ de lo que le quedaba. ¿Cuántos kilos vuelven al almacén?

Reto

7. Sin paréntesis, $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$ vale $\frac{1}{2}$. Coloca un paréntesis para que el resultado sea a) $\frac{5}{8}$; b) $\frac{1}{4}$.
8. Sin pasar a decimal, explica por qué $\frac{7}{40}$ da un decimal exacto y $\frac{7}{30}$ no.

Soluciones

1. a) $\frac{1}{3} + \frac{6}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$. b) $1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.
2. a) $0{,}15$, exacto. b) $0{,}8333\ldots = 0{,}8\overline{3}$, periódico. c) $2{,}25$, exacto.
3. a) $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. b) $\frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. c) $\frac{245}{100} = \frac{49}{20}$.
4. División: $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$. Potencia: $\frac{1}{9}$. Total: $\frac{5}{6} - \frac{2}{3} + \frac{1}{9} = \frac{15}{18} - \frac{12}{18} + \frac{2}{18} = \frac{5}{18}$.
5. Se ha simplificado el 4 del sumando con el 4 del denominador. Correcto: $\frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
6. Mañana: $1200 : 8 \cdot 3 = 450$ kg. Quedan 750 kg. Tarde: $750 : 5 \cdot 2 = 300$ kg. Vuelven $750 - 300 = 450$ kg al almacén.
7. a) $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$. b) $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$. También vale $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}$, con dos paréntesis.
8. $40 = 2^3 \cdot 5$ solo tiene los factores 2 y 5, y $\frac{7}{40}$ es irreducible: da un decimal exacto ($0{,}175$). $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ tiene el factor 3, que no se va al simplificar $\frac{7}{30}$: da un decimal periódico ($0{,}2\overline{3}$).