Qué es una fracción: partes, cantidades y cocientes

Introducción

Lucía, Marcos y Paula compran una pizza familiar para cenar y la cortan en 8 trozos iguales. Lucía se come 3 trozos, Marcos 2 y Paula 2. ¿Qué parte de la pizza se ha comido cada uno? ¿Y qué parte sobra?

Con números naturales no puedes responder bien: "3 trozos" no dice nada si no sabes en cuántos trozos se cortó la pizza. Para eso existen las fracciones.

Explicación

Numerador y denominador

Una fracción se escribe con dos números separados por una raya:

$\frac{a}{b}$

• El denominador $b$ (abajo) indica en cuántas partes iguales se divide la unidad.
• El numerador $a$ (arriba) indica cuántas de esas partes tomas.

Lucía se ha comido $\frac{3}{8}$ de la pizza: la pizza se dividió en 8 partes iguales y ella tomó 3. Se lee "tres octavos".

Las fracciones se leen así: medios (2), tercios (3), cuartos (4), quintos (5), sextos (6), séptimos (7), octavos (8), novenos (9), décimos (10). A partir de 11 se añade "-avos": $\frac{5}{12}$ se lee "cinco doceavos".

Tres formas de entender una fracción

1. Parte de un todo. $\frac{3}{8}$ de la pizza: 3 de 8 trozos iguales.
2. Fracción de una cantidad. $\frac{3}{4}$ de 20 alumnos: se reparte el grupo en 4 partes iguales y se toman 3.
3. Cociente. $\frac{3}{4}$ también es la división $3 : 4 = 0{,}75$. Si repartes 3 barras de pan entre 4 personas, a cada una le tocan $\frac{3}{4}$ de barra.

Fracciones propias e impropias

• Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es propia y vale menos que 1: $\frac{2}{5}$.
• Si el numerador es mayor o igual que el denominador, la fracción es impropia y vale 1 o más. Si numerador y denominador son iguales, vale exactamente 1: $\frac{6}{6} = 1$.
• Una fracción impropia mayor que 1 se puede escribir como número mixto: $\frac{7}{4} = 1 + \frac{3}{4} = 1\frac{3}{4}$.

Calcular la fracción de una cantidad

Para calcular $\frac{a}{b}$ de una cantidad:

1. Divide la cantidad entre el denominador $b$ (así obtienes una parte).
2. Multiplica el resultado por el numerador $a$.

$\frac{a}{b} \text{ de } C = \frac{C}{b} \cdot a$

También puedes multiplicar primero y dividir después: el resultado es el mismo.

Ejemplos

Ejemplo 1: la pizza. Lucía se ha comido $\frac{3}{8}$ de la pizza, Marcos $\frac{2}{8}$ y Paula $\frac{2}{8}$. Entre los tres se comen $3 + 2 + 2 = 7$ trozos, es decir, $\frac{7}{8}$ de la pizza. Sobra $\frac{1}{8}$, porque $8 - 7 = 1$ trozo de 8.

Ejemplo 2: la clase. En una clase de 1.º ESO hay 28 alumnos. $\frac{3}{4}$ de ellos van al instituto andando. ¿Cuántos son?

$28 : 4 = 7$ alumnos en cada cuarto. $7 \cdot 3 = 21$ alumnos van andando.

Ejemplo 3: el depósito. Un depósito de agua tiene 600 litros de capacidad y está lleno hasta sus $\frac{2}{5}$. ¿Cuántos litros contiene? ¿Cuántos faltan para llenarlo?

$600 : 5 = 120$ litros por quinto. $120 \cdot 2 = 240$ litros. Faltan $600 - 240 = 360$ litros, que son los $\frac{3}{5}$ restantes.

Ejemplo 4: del trozo al todo. Andrés ha leído 45 páginas de una novela, que son $\frac{3}{10}$ del libro. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

Si 3 décimos son 45 páginas, un décimo son $45 : 3 = 15$ páginas. El libro entero son 10 décimos: $15 \cdot 10 = 150$ páginas.

Recuerda

Una fracción $\frac{a}{b}$ divide la unidad en $b$ partes iguales y toma $a$ de ellas. Para calcular la fracción de una cantidad, divide entre el denominador y multiplica por el numerador. Una fracción también es una división: $\frac{a}{b} = a : b$.

Ejercicios

Básicos

1. Escribe con palabras y con números la fracción que representa: a) 5 de 9 partes iguales; b) 1 de 12 partes iguales; c) 7 de 7 partes iguales.
2. Calcula: a) $\frac{2}{3}$ de 27; b) $\frac{5}{6}$ de 48; c) $\frac{3}{8}$ de 200 €.
3. Clasifica en propias e impropias y escribe las impropias como número mixto: $\frac{4}{9}$, $\frac{11}{4}$, $\frac{9}{9}$, $\frac{17}{5}$.

Avanzados

4. Un tren de Renfe de Madrid a Valencia lleva 360 viajeros. $\frac{5}{12}$ viajan en clase turista con tarifa reducida. ¿Cuántos viajeros son? ¿Qué fracción del tren viaja con otra tarifa?
5. Nerea ha ahorrado 84 €, que son $\frac{7}{10}$ del precio de unos auriculares. ¿Cuánto cuestan los auriculares?
6. Expresa como número decimal: a) $\frac{3}{4}$; b) $\frac{7}{5}$; c) $\frac{1}{8}$.

Reto

7. En un instituto de Sevilla, $\frac{2}{5}$ del alumnado practica fútbol y $\frac{1}{4}$ practica baloncesto. Nadie practica los dos deportes. Si el instituto tiene 640 alumnos, ¿cuántos no practican ninguno de los dos?
8. Pablo gasta $\frac{1}{3}$ de su paga en el cine y $\frac{1}{4}$ de lo que le queda en un bocadillo. Le quedan 9 €. ¿Cuánto era su paga?

Soluciones

1. a) $\frac{5}{9}$, cinco novenos. b) $\frac{1}{12}$, un doceavo. c) $\frac{7}{7}$, siete séptimos, que es la unidad entera.
2. a) $27 : 3 \cdot 2 = 18$. b) $48 : 6 \cdot 5 = 40$. c) $200 : 8 \cdot 3 = 75$ €.
3. Propia: $\frac{4}{9}$. Impropias: $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$, $\frac{9}{9} = 1$ y $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$. $\frac{9}{9}$ no se escribe como número mixto, porque es exactamente la unidad.
4. $360 : 12 \cdot 5 = 150$ viajeros. Con otra tarifa viaja $\frac{7}{12}$ del tren ($\frac{12}{12} - \frac{5}{12}$), es decir, 210 viajeros.
5. Un décimo: $84 : 7 = 12$ €. El precio entero: $12 \cdot 10 = 120$ €.
6. a) $3 : 4 = 0{,}75$. b) $7 : 5 = 1{,}4$. c) $1 : 8 = 0{,}125$.
7. Fútbol: $640 : 5 \cdot 2 = 256$. Baloncesto: $640 : 4 = 160$. Ninguno: $640 - 256 - 160 = 224$ alumnos.
8. Después del cine le quedan $\frac{2}{3}$ de la paga. Del resto gasta $\frac{1}{4}$ y conserva $\frac{3}{4}$. Esos $\frac{3}{4}$ del resto son 9 €, así que el resto era $9 : 3 \cdot 4 = 12$ €. Esos 12 € son $\frac{2}{3}$ de la paga: $12 : 2 \cdot 3 = 18$ €. Comprobación: cine 6 €, quedan 12 €, bocadillo 3 €, quedan 9 €.