Fracciones equivalentes: simplificar, comparar y ordenar

Introducción

En la merienda, Hugo se come $\frac{1}{2}$ de una tortilla y Carla, de otra tortilla igual cortada en 4 trozos, se come 2 trozos, es decir, $\frac{2}{4}$. Carla protesta: "Yo he comido más trozos". Hugo responde: "Pero hemos comido lo mismo". ¿Quién tiene razón?

Explicación

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. En el dibujo, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ y $\frac{4}{8}$ ocupan la misma parte de la barra.

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes se multiplican en cruz:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{si} \quad a \cdot d = b \cdot c$

Ejemplo: $\frac{2}{4}$ y $\frac{4}{8}$: $2 \cdot 8 = 16$ y $4 \cdot 4 = 16$. Son equivalentes.

Amplificar y simplificar

• Amplificar: multiplicas numerador y denominador por el mismo número (distinto de 0). $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20}$.
• Simplificar: divides numerador y denominador por un divisor común. $\frac{18}{24} = \frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}$.

Cuando ya no hay ningún divisor común salvo el 1, la fracción es irreducible. Para llegar a ella en un solo paso divides entre el máximo común divisor (m.c.d.) del numerador y del denominador. Si no lo ves, simplifica por pasos: entre 2, entre 3, entre 5…

Comparar fracciones

• Mismo denominador: es mayor la que tiene el numerador mayor. $\frac{5}{9} > \frac{2}{9}$.
• Mismo numerador: es mayor la que tiene el denominador menor, porque las partes son más grandes. $\frac{3}{5} > \frac{3}{8}$.
• Caso general: busca fracciones equivalentes con un denominador común. El más cómodo es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. También puedes pasar las fracciones a decimales.

Fracciones en la recta numérica

Para colocar $\frac{a}{b}$ en la recta, divide cada unidad en $b$ partes iguales y cuenta $a$ partes desde el 0.

En la recta ves que $\frac{2}{4}$ y $\frac{1}{2}$ caen en el mismo punto, y que $\frac{5}{4}$ y $\frac{3}{2}$ son mayores que 1.

Ejemplos

Ejemplo 1: ¿equivalentes? $\frac{6}{15}$ y $\frac{4}{10}$: $6 \cdot 10 = 60$ y $15 \cdot 4 = 60$. Sí son equivalentes, las dos valen $\frac{2}{5}$.

Ejemplo 2: irreducible. Simplifica $\frac{36}{48}$. Divisores comunes: $\text{m.c.d.}(36, 48) = 12$. $\frac{36 : 12}{48 : 12} = \frac{3}{4}$.

Ejemplo 3: comparar. ¿Qué es mayor, $\frac{5}{6}$ o $\frac{7}{9}$?

$\text{m.c.m.}(6, 9) = 18$. $\frac{5}{6} = \frac{15}{18}$ y $\frac{7}{9} = \frac{14}{18}$. Como $15 > 14$, $\frac{5}{6} > \frac{7}{9}$.

Ejemplo 4: ordenar. Ordena de menor a mayor $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{8}$.

$\text{m.c.m.}(3, 4, 8) = 24$: $\frac{16}{24}$, $\frac{18}{24}$, $\frac{15}{24}$. Orden: $\frac{5}{8} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

Comprobación con decimales: $0{,}625 < 0{,}666\ldots < 0{,}75$.

Recuerda

Dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados son iguales. Amplificar y simplificar no cambian el valor de la fracción. Para comparar fracciones con distinto denominador, redúcelas a común denominador con el m.c.m.

Ejercicios

Básicos

1. Escribe tres fracciones equivalentes a $\frac{2}{7}$.
2. Simplifica hasta la fracción irreducible: a) $\frac{14}{21}$; b) $\frac{45}{60}$; c) $\frac{24}{40}$.
3. Comprueba si son equivalentes: a) $\frac{3}{8}$ y $\frac{9}{24}$; b) $\frac{4}{6}$ y $\frac{10}{16}$.

Avanzados

4. Ordena de menor a mayor: $\frac{3}{5}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$.
5. En 1.º A aprueban 18 de 24 alumnos un examen; en 1.º B aprueban 20 de 25. ¿En qué grupo aprueba una fracción mayor?
6. Dibuja una recta numérica de 0 a 2 y coloca $\frac{1}{3}$, $\frac{4}{3}$, $\frac{5}{6}$ y $\frac{3}{2}$.

Reto

7. Encuentra una fracción que esté entre $\frac{1}{4}$ y $\frac{1}{3}$. Explica cómo la has encontrado.
8. Una fracción es equivalente a $\frac{3}{5}$ y la suma de su numerador y su denominador es 40. ¿Qué fracción es?

Soluciones

1. Por ejemplo $\frac{4}{14}$, $\frac{6}{21}$, $\frac{10}{35}$ (amplificando por 2, 3 y 5).
2. a) m.c.d. 7: $\frac{2}{3}$. b) m.c.d. 15: $\frac{3}{4}$. c) m.c.d. 8: $\frac{3}{5}$.
3. a) $3 \cdot 24 = 72$ y $8 \cdot 9 = 72$: sí. b) $4 \cdot 16 = 64$ y $6 \cdot 10 = 60$: no.
4. Con denominador 30: $\frac{18}{30}$, $\frac{21}{30}$, $\frac{15}{30}$, $\frac{20}{30}$. Orden: $\frac{1}{2} < \frac{3}{5} < \frac{2}{3} < \frac{7}{10}$.
5. 1.º A: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4} = 0{,}75$. 1.º B: $\frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0{,}8$. Aprueba una fracción mayor en 1.º B.
6. Divide cada unidad en 6 partes: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ (2 partes), $\frac{5}{6}$ (5 partes), $\frac{4}{3} = \frac{8}{6}$ (8 partes), $\frac{3}{2} = \frac{9}{6}$ (9 partes).
7. Con denominador 24: $\frac{1}{4} = \frac{6}{24}$ y $\frac{1}{3} = \frac{8}{24}$. Entre ellas está $\frac{7}{24}$. Otra forma: con denominador 12 no cabe ninguna ($\frac{3}{12}$ y $\frac{4}{12}$), por eso se amplía al doble.
8. Las fracciones equivalentes a $\frac{3}{5}$ son $\frac{3k}{5k}$. Suma: $3k + 5k = 8k = 40$, así que $k = 5$. La fracción es $\frac{15}{25}$.