Qué es una ecuación de primer grado y cómo se resuelve

Introducción

Una bolsa cerrada y 2 cubos pesan lo mismo que 5 cubos iguales. ¿Cuántos cubos hay dentro de la bolsa? Seguramente lo sabes sin escribir nada: 3. Pero ¿cómo lo has pensado? Has quitado mentalmente 2 cubos de cada lado. Eso es exactamente lo que se hace para resolver una ecuación.

Explicación

Qué es una ecuación

Una ecuación es una igualdad con una incógnita, una letra que representa un número desconocido. Resolverla es buscar los valores de la incógnita que la cumplen.

$\underbrace{x + 2}_{\text{primer miembro}} = \underbrace{5}_{\text{segundo miembro}}$

Cada sumando es un término. Una ecuación es de primer grado si la incógnita aparece solo con exponente 1 (no hay $x^2$, $x^3$…).

La solución es el valor de la incógnita que hace cierta la igualdad. La solución de $x + 2 = 5$ es $x = 3$, porque $3 + 2 = 5$.

La balanza

Una ecuación es como una balanza en equilibrio. Si haces lo mismo en los dos platos, el equilibrio se mantiene.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Obtienes una ecuación equivalente si:

• sumas o restas el mismo número (o la misma expresión) en los dos miembros;
• multiplicas o divides los dos miembros por el mismo número distinto de 0.

Transposición de términos

En la práctica se usan dos reglas rápidas, que salen de las anteriores:

• Un término que suma en un miembro pasa al otro restando, y al revés.
• Un número que multiplica a todo un miembro pasa al otro dividiendo, y al revés. El signo del número no cambia.

Pasos para resolver $ax + b = cx + d$

1. Pasa los términos con $x$ a un miembro y los números al otro.
2. Reduce cada miembro.
3. Despeja $x$ dividiendo entre su coeficiente.
4. Comprueba la solución sustituyendo en la ecuación original.

Ejemplos

Ejemplo 1. $x + 7 = 12$. El 7 suma, pasa restando: $x = 12 - 7 = 5$.

Comprobación: $5 + 7 = 12$.

Ejemplo 2. $4x = 28$. El 4 multiplica, pasa dividiendo: $x = \frac{28}{4} = 7$.

Ejemplo 3. $-3x = 15$. El $-3$ pasa dividiendo con su signo: $x = \frac{15}{-3} = -5$.

Comprobación: $-3 \cdot (-5) = 15$.

Ejemplo 4. $5x - 4 = 2x + 11$.

$5x - 2x = 11 + 4$, es decir, $3x = 15$, así que $x = 5$.

Comprobación: $5 \cdot 5 - 4 = 21$ y $2 \cdot 5 + 11 = 21$.

Ejemplo 5: solución fraccionaria. $6x + 1 = 2x + 4$.

$4x = 3$, $x = \frac{3}{4}$. Las soluciones no tienen que ser números enteros.

Recuerda

Una ecuación es una balanza: lo que haces en un miembro, hazlo en el otro. Lo que suma pasa restando; lo que multiplica pasa dividiendo, con su signo. Comprueba siempre la solución en la ecuación original.

Ejercicios

Básicos

1. ¿Es $x = 4$ solución de estas ecuaciones? a) $3x - 2 = 10$; b) $x + 9 = 2x + 4$; c) $5 - x = x - 3$.
2. Resuelve: a) $x - 8 = 3$; b) $7x = 42$; c) $\frac{x}{5} = 6$; d) $-2x = 18$.
3. Resuelve: a) $3x + 5 = 20$; b) $9 - 2x = 1$; c) $4x - 7 = 2x + 5$.

Avanzados

4. Resuelve y comprueba: a) $8x - 3 = 5x + 9$; b) $2x + 7 = 7x - 8$; c) $x - 6 = 4x + 3$.
5. Resuelve: a) $10x + 4 = 6x + 5$; b) $3x + 2 - x = 8 - 4x$.
6. Escribe una ecuación cuya solución sea $x = -2$ y que tenga $x$ en los dos miembros.

Reto

7. Dibuja la balanza de $2x + 1 = x + 4$ (bolsas y cubos) y explica con la balanza cada paso de la resolución.
8. Iván resuelve $3x = 12$ así: "El 3 pasa restando: $x = 12 - 3 = 9$". Explica el error con la regla de la balanza.

Soluciones

1. a) $12 - 2 = 10$: sí. b) $13$ y $12$: no. c) $1$ y $1$: sí.
2. a) $x = 11$. b) $x = 6$. c) $x = 30$. d) $x = -9$.
3. a) $3x = 15$, $x = 5$. b) $-2x = -8$, $x = 4$. c) $2x = 12$, $x = 6$.
4. a) $3x = 12$, $x = 4$. Comprobación: $29 = 29$. b) $-5x = -15$, $x = 3$. Comprobación: $13 = 13$. c) $-3x = 9$, $x = -3$. Comprobación: $-9 = -9$.
5. a) $4x = 1$, $x = \frac{1}{4}$. b) $2x + 2 = 8 - 4x$, $6x = 6$, $x = 1$.
6. Respuesta abierta. Ejemplo: $3x + 1 = x - 3$. Comprobación: $-6 + 1 = -5$ y $-2 - 3 = -5$.
7. Plato izquierdo: dos bolsas y un cubo; plato derecho: una bolsa y cuatro cubos. Se quita una bolsa de cada plato: $x + 1 = 4$. Se quita un cubo de cada plato: $x = 3$. Cada bolsa contiene 3 cubos.
8. El 3 no suma, multiplica a la $x$: hay tres bolsas iguales. Para quedarse con una, hay que repartir cada plato en 3 partes, es decir, dividir: $x = \frac{12}{3} = 4$.