Ecuaciones con paréntesis y denominadores: Ecuaciones de primer grado

Introducción

Sofía gasta un tercio de su paga en el cine y la mitad en un regalo. Le sobran 5 €. ¿Cuánto era su paga? Si la paga es $x$ , la ecuación es

$\frac{x}{3} + \frac{x}{2} + 5 = x$

Esta ecuación tiene denominadores. Otras tienen paréntesis. Antes de aplicar los pasos de la lección anterior hay que eliminarlos.

Explicación

Ecuaciones con paréntesis

Quita los paréntesis con la propiedad distributiva. Cuidado con el signo menos delante de un paréntesis.
Sigue los pasos de siempre: agrupar, reducir, despejar, comprobar.

Ecuaciones con denominadores

Calcula el m.c.m. de todos los denominadores.
Multiplica todos los términos de los dos miembros por ese m.c.m. Así desaparecen los denominadores. Los términos sin denominador también se multiplican.
Si un numerador tiene varios términos, ponlo entre paréntesis antes de multiplicar. Es el paso donde más errores se cometen.
Resuelve la ecuación que queda.

Por ejemplo, en $\frac{x - 1}{4}$ con m.c.m. 12, el resultado es $3(x - 1) = 3x - 3$ , no $3x - 1$ .

Orden general

Para cualquier ecuación de primer grado:

Quitar paréntesis.
Quitar denominadores.
Pasar las $x$ a un miembro y los números al otro.
Reducir.
Despejar.
Comprobar.

Ejemplos

Ejemplo 1: paréntesis. $3(x - 2) = 2(x + 1) + 1$ .

$3x - 6 = 2x + 2 + 1$ . $3x - 2x = 3 + 6$ . $x = 9$ .

Comprobación: $3 \cdot 7 = 21$ y $2 \cdot 10 + 1 = 21$ .

Ejemplo 2: signo menos delante. $5x - (2x - 4) = 13$ .

$5x - 2x + 4 = 13$ . $3x = 9$ . $x = 3$ .

Ejemplo 3: la paga de Sofía. $\frac{x}{3} + \frac{x}{2} + 5 = x$ . m.c.m. $(3, 2) = 6$ . Multiplica cada término por 6:

$2x + 3x + 30 = 6x$ . $5x - 6x = -30$ . $-x = -30$ , $x = 30$ .

La paga es de 30 €. Comprobación: cine 10 €, regalo 15 €, sobran 5 €.

Ejemplo 4: numerador con varios términos. $\frac{x + 2}{3} - \frac{x - 1}{4} = 2$ . m.c.m. $= 12$ :

$4(x + 2) - 3(x - 1) = 24$ . $4x + 8 - 3x + 3 = 24$ . $x = 13$ .

Comprobación: $\frac{15}{3} - \frac{12}{4} = 5 - 3 = 2$ .

Ejemplo 5: todo junto. $\frac{2(x - 3)}{5} = \frac{x}{2} - 2$ . m.c.m. $= 10$ :

$4(x - 3) = 5x - 20$ . $4x - 12 = 5x - 20$ . $-x = -8$ , $x = 8$ .

Comprobación: $\frac{2 \cdot 5}{5} = 2$ y $\frac{8}{2} - 2 = 2$ .

Recuerda

Primero paréntesis, después denominadores. Para quitar denominadores, multiplica todos los términos por el m.c.m. y pon entre paréntesis los numeradores con varios términos. Un signo menos delante de una fracción afecta a todo su numerador.

Ejercicios

Básicos

Resuelve: a) $2(x + 3) = 14$ ; b) $4(x - 1) = 3x + 2$ ; c) $7 - (x + 2) = 1$ .
Resuelve: a) $\frac{x}{4} = 3$ ; b) $\frac{x}{2} + 5 = 9$ ; c) $\frac{x}{3} - \frac{x}{6} = 2$ .
Resuelve: $3(2x - 1) - 2(x + 4) = 1$ .

Avanzados

Resuelve: a) $\frac{x + 1}{2} = \frac{x + 4}{3}$ ; b) $\frac{x - 2}{5} + 1 = \frac{x}{3}$ .
Resuelve: $\frac{3x - 1}{4} - \frac{x + 1}{6} = 2$ .
Encuentra el error: " $\frac{x}{2} - \frac{x - 3}{4} = 2 \Rightarrow 2x - x - 3 = 8 \Rightarrow x = 11$ ". Resuelve correctamente.

Reto

Resuelve: $\frac{x}{2} - \frac{2x - 1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{x + 2}{4}$ .
De un depósito se saca primero la cuarta parte del agua y después la tercera parte de lo que quedaba. Quedan 300 litros. Plantea una ecuación y calcula cuánta agua había al principio.

Soluciones

a) $2x + 6 = 14$ , $x = 4$ . b) $4x - 4 = 3x + 2$ , $x = 6$ . c) $7 - x - 2 = 1$ , $-x = -4$ , $x = 4$ .
a) $x = 12$ . b) $\frac{x}{2} = 4$ , $x = 8$ . c) m.c.m. 6: $2x - x = 12$ , $x = 12$ .
$6x - 3 - 2x - 8 = 1$ , $4x = 12$ , $x = 3$ .
a) m.c.m. 6: $3(x + 1) = 2(x + 4)$ , $3x + 3 = 2x + 8$ , $x = 5$ . b) m.c.m. 15: $3(x - 2) + 15 = 5x$ , $3x + 9 = 5x$ , $x = \frac{9}{2} = 4{,}5$ .
m.c.m. 12: $3(3x - 1) - 2(x + 1) = 24$ , $9x - 3 - 2x - 2 = 24$ , $7x = 29$ , $x = \frac{29}{7}$ .
Faltó el paréntesis: el signo menos afecta a todo el numerador $x - 3$ . Correcto: $2x - (x - 3) = 8$ , $2x - x + 3 = 8$ , $x = 5$ . Comprobación: $\frac{5}{2} - \frac{2}{4} = 2{,}5 - 0{,}5 = 2$ .
m.c.m. 12: $6x - 4(2x - 1) = 2 - 3(x + 2)$ . $6x - 8x + 4 = 2 - 3x - 6$ . $-2x + 4 = -3x - 4$ . $x = -8$ . Comprobación: izquierda $-4 - \frac{-17}{3} = -4 + \frac{17}{3} = \frac{5}{3}$ ; derecha $\frac{1}{6} - \frac{-6}{4} = \frac{1}{6} + \frac{3}{2} = \frac{5}{3}$ .
Al principio $x$ litros. Tras sacar $\frac{x}{4}$ quedan $\frac{3x}{4}$ . Se saca $\frac{1}{3} \cdot \frac{3x}{4} = \frac{x}{4}$ . Ecuación: $x - \frac{x}{4} - \frac{x}{4} = 300$ , es decir, $\frac{x}{2} = 300$ , $x = 600$ litros.