Lenguaje algebraico: expresiones, valor numérico y reducir

Introducción

Una academia de idiomas en Zaragoza cobra 40 € de matrícula y 35 € por cada mes de clase. ¿Cuánto paga quien va 3 meses? ¿Y 8 meses? ¿Y un número cualquiera de meses?

Para la última pregunta no hay un número concreto. Necesitas una letra que represente "un número cualquiera de meses". Si la llamas $n$, el precio es $40 + 35n$. Esto es lenguaje algebraico: usar letras y números para expresar relaciones.

Explicación

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica combina números y letras con operaciones. Las letras se llaman variables o incógnitas y representan números.

Lenguaje cotidiano	Lenguaje algebraico
El doble de un número	$2x$
Un número más 5	$x + 5$
La mitad de un número	$\frac{x}{2}$
El cuadrado de un número	$x^2$
El triple de un número menos 4	$3x - 4$
El triple de un número menos 4, todo ello entre 2	$\frac{3x - 4}{2}$
Dos números consecutivos	$x$ y $x + 1$
Un número par	$2x$

Entre un número y una letra se omite el signo de multiplicar: $3 \cdot x = 3x$.

Valor numérico

El valor numérico de una expresión es el resultado de sustituir la letra por un número. El precio de la academia para $n = 8$ meses es $40 + 35 \cdot 8 = 320$ €.

Monomios y términos semejantes

Un monomio es un producto de un número (el coeficiente) por letras (la parte literal): en $-5x$, el coeficiente es $-5$ y la parte literal es $x$.

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal: $3x$ y $-7x$ lo son; $3x$ y $3x^2$, no.

Reducir expresiones

Solo se pueden sumar y restar términos semejantes. Se suman o restan sus coeficientes y se deja la parte literal:

$4x + 2x = 6x \qquad 7x - 9x = -2x \qquad 3x + 5 + x - 2 = 4x + 3$

$3x + 5$ no se puede reducir más: $3x$ y $5$ no son semejantes.

Quitar paréntesis

Para quitar un paréntesis precedido de un número se multiplica ese número por cada término del paréntesis (propiedad distributiva):

$3(x + 4) = 3x + 12 \qquad -2(x - 5) = -2x + 10$

Si delante del paréntesis hay un signo menos, cambian los signos de todos los términos de dentro: $-(x - 3) = -x + 3$.

Ejemplos

Ejemplo 1: traducir. "La edad de Lucas dentro de 6 años" si hoy tiene $x$ años: $x + 6$. "La edad de su madre, que tiene el triple que Lucas": $3x$.

Ejemplo 2: valor numérico. Calcula $2x^2 - 3x + 1$ para $x = -2$.

$2 \cdot (-2)^2 - 3 \cdot (-2) + 1 = 2 \cdot 4 + 6 + 1 = 15$.

Ejemplo 3: reducir. $5x - 3 + 2(x - 1) - (4x - 7)$.

Quitar paréntesis: $5x - 3 + 2x - 2 - 4x + 7$. Agrupar: $(5x + 2x - 4x) + (-3 - 2 + 7) = 3x + 2$.

Ejemplo 4: perímetro. Un rectángulo mide $x$ cm de ancho y 3 cm más de largo. Su perímetro es $2x + 2(x + 3) = 2x + 2x + 6 = 4x + 6$ cm.

Recuerda

En lenguaje algebraico las letras representan números. Solo se suman términos semejantes. Para quitar un paréntesis, multiplica el número de delante por cada término; un signo menos delante cambia todos los signos de dentro.

Ejercicios

Básicos

1. Traduce al lenguaje algebraico: a) el triple de un número más 7; b) la cuarta parte de un número; c) la suma de dos números consecutivos; d) un número impar.
2. Calcula el valor numérico de $3x - 5$ para a) $x = 4$; b) $x = -1$; c) $x = \frac{1}{3}$.
3. Reduce: a) $6x + 3x - 2x$; b) $4x + 7 - x - 10$; c) $2x^2 + 5x - x^2 + x$.

Avanzados

4. Quita paréntesis y reduce: a) $4(x - 2) + 3x$; b) $5 - (2x - 3) + 4x$; c) $3(2x + 1) - 2(x - 4)$.
5. Una tarifa de móvil cuesta 9 € al mes más 0,50 € por cada gigabyte extra. Escribe la expresión del precio mensual para $g$ gigabytes extra y calcula el precio con 6 GB extra.
6. Escribe con una expresión el perímetro de un triángulo cuyos lados miden $x$, $2x$ y $x + 5$ centímetros. Reduce la expresión.

Reto

7. Piensa un número, súmale 3, multiplica el resultado por 2, réstale 6 y divide entre 2. ¿Qué obtienes? Explica con lenguaje algebraico por qué pasa siempre.
8. ¿Para qué valor de $x$ valen lo mismo $2x + 3$ y $x + 7$? Prueba con valores hasta encontrarlo.

Soluciones

1. a) $3x + 7$. b) $\frac{x}{4}$. c) $x + (x + 1) = 2x + 1$. d) $2x + 1$.
2. a) $12 - 5 = 7$. b) $-3 - 5 = -8$. c) $1 - 5 = -4$.
3. a) $7x$. b) $3x - 3$. c) $x^2 + 6x$.
4. a) $4x - 8 + 3x = 7x - 8$. b) $5 - 2x + 3 + 4x = 2x + 8$. c) $6x + 3 - 2x + 8 = 4x + 11$.
5. Precio: $9 + 0{,}5g$. Con $g = 6$: $9 + 3 = 12$ €.
6. $x + 2x + (x + 5) = 4x + 5$ cm.
7. Obtienes el número que pensaste. Con $x$: $\frac{2(x + 3) - 6}{2} = \frac{2x + 6 - 6}{2} = \frac{2x}{2} = x$.
8. Probando: $x = 3$ da 9 y 10; $x = 4$ da 11 y 11. Valen lo mismo para $x = 4$. En la próxima lección aprenderás a encontrarlo sin probar: es una ecuación.