Ecuaciones sin solución, comprobación con tecnología y errores típicos: Ecuaciones de primer grado

Introducción

Álvaro resuelve $2(x + 3) = 2x + 6$ y llega a $0 = 0$ . Su compañera Noa resuelve $2(x + 3) = 2x + 5$ y llega a $6 = 5$ . Los dos piensan que se han equivocado. En realidad, ninguno lo ha hecho: hay ecuaciones con infinitas soluciones y ecuaciones sin solución.

En esta lección repasas todo el proceso, aprendes a comprobar con el ordenador y revisas los errores más frecuentes.

Explicación

Número de soluciones

Al resolver una ecuación de primer grado, la $x$ puede desaparecer. Entonces:

Si queda una igualdad verdadera ( $0 = 0$ , $6 = 6$ ), la ecuación se cumple para cualquier valor de $x$ : tiene infinitas soluciones. Es una identidad.
Si queda una igualdad falsa ( $6 = 5$ ), ningún valor la cumple: no tiene solución.
En los demás casos, la ecuación tiene una única solución.

Comprobar siempre

Sustituye la solución en la ecuación original, no en un paso intermedio: si te equivocaste antes de ese paso, la comprobación no lo detecta. En los problemas, comprueba además en el enunciado.

Resolver con tecnología

Las calculadoras científicas modernas, GeoGebra o una hoja de cálculo permiten comprobar soluciones:

En la vista CAS de GeoGebra, escribe Resuelve(3(x - 2) = 2x + 5) y obtienes {x = 11}.
En la vista gráfica puedes dibujar $y = 3(x - 2)$ y $y = 2x + 5$ : la solución es la coordenada $x$ del punto de corte de las dos rectas.
En una hoja de cálculo, escribe valores de $x$ en una columna y calcula los dos miembros en otras dos. Donde coinciden, está la solución.

La tecnología comprueba, pero no sustituye a saber plantear y resolver: en un examen o en un problema nuevo necesitas entender cada paso.

Errores típicos

Error	Ejemplo incorrecto	Correcto
Cambiar el signo al pasar un factor	$-3x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{3}$	$x = \frac{12}{-3} = -4$
Pasar restando un factor	$5x = 20 \Rightarrow x = 20 - 5$	$x = \frac{20}{5} = 4$
Olvidar multiplicar un término sin denominador	$\frac{x}{2} + 3 = 5 \Rightarrow x + 3 = 10$	$x + 6 = 10$
Olvidar el paréntesis del numerador	$-\frac{x - 1}{3}$ con m.c.m. 3 $\Rightarrow -x - 1$	$-(x - 1) = -x + 1$
Distributiva incompleta	$4(x - 2) = 4x - 2$	$4x - 8$
Mezclar términos no semejantes	reducir $3x + 2$ a $5x$	No se pueden sumar: queda $3x + 2$
No comprobar la solución en el enunciado	"Hay $-2$ alumnos"	Revisar el planteamiento

Ejemplos

Ejemplo 1: identidad. $3(x + 2) - x = 2(x + 3)$ .

$3x + 6 - x = 2x + 6$ . $2x + 6 = 2x + 6$ . $0 = 0$ . Infinitas soluciones.

Ejemplo 2: sin solución. $4x - 2(x - 1) = 2x + 5$ .

$4x - 2x + 2 = 2x + 5$ . $2x + 2 = 2x + 5$ . $2 = 5$ , falso. No tiene solución.

Ejemplo 3: ecuación completa. $\frac{x - 3}{2} - \frac{2x + 1}{5} = \frac{x}{10} - 2$ .

m.c.m. 10: $5(x - 3) - 2(2x + 1) = x - 20$ . $5x - 15 - 4x - 2 = x - 20$ . $x - 17 = x - 20$ . $-17 = -20$ : falso, sin solución.

Ejemplo 4: corregir un ejercicio. Pedro escribe:

$2(x - 4) - (x + 1) = 3 \Rightarrow 2x - 8 - x + 1 = 3 \Rightarrow x = 10$ .

El error está en $-(x + 1)$ : debe ser $-x - 1$ . Correcto: $2x - 8 - x - 1 = 3$ , $x - 9 = 3$ , $x = 12$ . Comprobación: $2 \cdot 8 - 13 = 3$ .

Recuerda

Si la $x$ desaparece: igualdad cierta, infinitas soluciones; igualdad falsa, sin solución. Comprueba siempre en la ecuación original. Usa la tecnología para comprobar, no para saltarte el razonamiento.

Ejercicios

Básicos

Indica cuántas soluciones tiene cada ecuación: a) $2x + 4 = 2(x + 2)$ ; b) $3x - 1 = 3x + 1$ ; c) $5x - 1 = 3x + 1$ .
Resuelve y comprueba: $5(x - 1) - 3(x + 2) = 1$ .
Encuentra y corrige el error: $\frac{x}{3} + 2 = 4 \Rightarrow x + 2 = 12 \Rightarrow x = 10$ .

Avanzados

Resuelve: $\frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{6} = \frac{x}{2}$ .
Resuelve: $\frac{3(x - 1)}{4} - \frac{2x - 3}{8} = 1 - \frac{x - 5}{2}$ .
Comprueba con GeoGebra o con una tabla de valores la solución de $3(x - 2) = 2x + 5$ . Explica qué representa el punto de corte de las dos rectas.

Reto

Busca un número $a$ para que la ecuación $3x + a = 3(x + 2)$ tenga infinitas soluciones, y otro para que no tenga ninguna.
En una carrera solidaria por Valencia, cada participante paga 12 € de inscripción. Los patrocinadores ponen 1500 € y la organización gasta 3900 €. Con lo que sobra se dona el triple de lo que se donó el año pasado, que fueron 1400 €. ¿Cuántos participantes hubo? Plantea, resuelve y comprueba.

Soluciones

a) $2x + 4 = 2x + 4$ : infinitas soluciones. b) $-1 = 1$ : sin solución. c) $2x = 2$ , $x = 1$ : una solución.
$5x - 5 - 3x - 6 = 1$ , $2x = 12$ , $x = 6$ . Comprobación: $25 - 24 = 1$ .
El 2 también se multiplica por 3: $x + 6 = 12$ , $x = 6$ . Comprobación: $2 + 2 = 4$ .
m.c.m. 6: $2(x + 1) - (x - 2) = 3x$ . $2x + 2 - x + 2 = 3x$ . $x + 4 = 3x$ , $x = 2$ . Comprobación: $1 - 0 = 1$ y $\frac{2}{2} = 1$ .
m.c.m. 8: $6(x - 1) - (2x - 3) = 8 - 4(x - 5)$ . $6x - 6 - 2x + 3 = 8 - 4x + 20$ . $4x - 3 = 28 - 4x$ . $8x = 31$ , $x = \frac{31}{8}$ .
La solución es $x = 11$ : los dos miembros valen $3 \cdot 9 = 27$ y $22 + 5 = 27$ . El punto de corte es $(11, 27)$ : su coordenada $x$ es la solución y su coordenada $y$ , el valor común de los dos miembros.
$3x + a = 3x + 6$ . Con $a = 6$ hay infinitas soluciones. Con cualquier otro valor, por ejemplo $a = 0$ , no hay solución.
$x$ = participantes. Ingresos: $12x + 1500$ . Sobra: $12x + 1500 - 3900$ . Donación: $3 \cdot 1400 = 4200$ €. $12x - 2400 = 4200$ , $12x = 6600$ , $x = 550$ participantes. Comprobación: $6600 + 1500 - 3900 = 4200$ €.