Resolver problemas con ecuaciones de primer grado

Introducción

Una madre tiene 42 años y su hijo, 12. ¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será el doble que la del hijo? Puedes ir probando año a año, pero con una ecuación lo resuelves en tres líneas. La parte difícil no es resolver la ecuación, sino plantearla.

Explicación

Método en cinco pasos

1. Comprender. Lee el enunciado dos veces. ¿Qué te preguntan? ¿Qué datos tienes?
2. Elegir la incógnita. Escribe con palabras qué es $x$: "$x$ = número de años que pasan". Expresa las demás cantidades en función de $x$.
3. Plantear la ecuación. Busca en el enunciado la frase que dice que dos cantidades son iguales.
4. Resolver la ecuación.
5. Comprobar e interpretar. Comprueba en el enunciado (no solo en la ecuación) y responde con una frase completa y unidades. Pregúntate si la solución tiene sentido: no puede haber $-3$ personas ni $2{,}5$ hermanos.

Una tabla ayuda

En problemas de edades, de mezclas o de dinero, una tabla ordena los datos:

	Hoy	Dentro de $x$ años
Madre	42	$42 + x$
Hijo	12	$12 + x$

Ejemplos

Ejemplo 1: edades. Con la tabla anterior, la condición es "madre = doble del hijo":

$42 + x = 2(12 + x)$. $42 + x = 24 + 2x$. $18 = x$.

Dentro de 18 años: la madre tendrá 60 y el hijo 30. $60 = 2 \cdot 30$. Respuesta: dentro de 18 años.

Ejemplo 2: números consecutivos. La suma de tres números consecutivos es 87. ¿Cuáles son?

$x$ = el menor. Los números son $x$, $x + 1$, $x + 2$.

$x + (x + 1) + (x + 2) = 87$. $3x + 3 = 87$. $x = 28$. Son 28, 29 y 30.

Ejemplo 3: dinero. En una hucha hay 34 monedas, unas de 1 € y otras de 2 €. En total hay 50 €. ¿Cuántas monedas hay de cada tipo?

$x$ = monedas de 2 €. Monedas de 1 €: $34 - x$.

$2x + 1 \cdot (34 - x) = 50$. $x + 34 = 50$. $x = 16$.

Hay 16 monedas de 2 € y 18 de 1 €. Comprobación: $32 + 18 = 50$ €.

Ejemplo 4: geometría. Un campo rectangular mide 30 m más de largo que de ancho. Su perímetro es de 260 m. ¿Cuáles son sus dimensiones?

$x$ = ancho. Largo: $x + 30$.

$2x + 2(x + 30) = 260$. $4x + 60 = 260$. $x = 50$. El campo mide 50 m de ancho y 80 m de largo.

Ejemplo 5: viaje. En una excursión a Toledo, cada alumno paga 18 € y el centro aporta 120 €. El autobús y las entradas cuestan en total 1020 €. ¿Cuántos alumnos van?

$18x + 120 = 1020$. $18x = 900$. $x = 50$ alumnos.

Recuerda

Escribe qué representa $x$ antes de empezar. Expresa todas las cantidades con $x$, busca la igualdad del enunciado, resuelve y comprueba en el enunciado. Termina con una frase de respuesta.

Ejercicios

Básicos

1. Si a un número le sumas su triple obtienes 64. ¿Qué número es?
2. La suma de dos números pares consecutivos es 98. ¿Cuáles son?
3. Marta tiene 8 € más que Jorge. Entre los dos tienen 46 €. ¿Cuánto tiene cada uno?

Avanzados

4. Un padre tiene 45 años y su hija, 15. ¿Hace cuántos años la edad del padre era cuatro veces la de la hija?
5. En un aparcamiento hay coches y motos. En total hay 40 vehículos y 130 ruedas. ¿Cuántos coches y cuántas motos hay?
6. Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 37 cm. Cada lado igual mide 5 cm más que la base. ¿Cuánto mide cada lado?

Reto

7. Un grupo de amigos va a un concierto en Barcelona. Si cada uno pone 25 €, faltan 15 € para pagar las entradas; si cada uno pone 30 €, sobran 20 €. ¿Cuántos amigos son? ¿Cuánto cuestan las entradas?
8. Lucía ha leído $\frac{2}{5}$ de un libro el lunes y $\frac{1}{3}$ el martes. Le quedan 60 páginas. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

Soluciones

1. $x + 3x = 64$, $4x = 64$, $x = 16$.
2. $x + (x + 2) = 98$, $2x = 96$, $x = 48$. Son 48 y 50.
3. Jorge: $x$, Marta: $x + 8$. $2x + 8 = 46$, $x = 19$. Jorge tiene 19 € y Marta 27 €.
4. Hace $x$ años: $45 - x = 4(15 - x)$. $45 - x = 60 - 4x$. $3x = 15$, $x = 5$. Hace 5 años: padre 40, hija 10.
5. Coches $x$, motos $40 - x$. $4x + 2(40 - x) = 130$, $2x + 80 = 130$, $x = 25$. Hay 25 coches y 15 motos.
6. Base $x$, lados iguales $x + 5$. $x + 2(x + 5) = 37$, $3x + 10 = 37$, $x = 9$. Base 9 cm, lados iguales 14 cm.
7. $x$ amigos. Las entradas cuestan $25x + 15$ y también $30x - 20$. $25x + 15 = 30x - 20$, $35 = 5x$, $x = 7$. Son 7 amigos y las entradas cuestan $25 \cdot 7 + 15 = 190$ €.
8. $\frac{2x}{5} + \frac{x}{3} + 60 = x$. m.c.m. 15: $6x + 5x + 900 = 15x$, $900 = 4x$, $x = 225$ páginas. Comprobación: lunes 90, martes 75, quedan $225 - 165 = 60$.