Zinsrechnung: Zinsen, Zinssatz und Kapital berechnen

Einstieg

Du hast 500 € gespart und bringst das Geld zur Bank. Die Bank bietet 2 % Zinsen im Jahr. Wie viel Geld hast du nach einem Jahr? Und umgekehrt: Wer sich Geld leiht, zum Beispiel für ein Auto, muss Zinsen bezahlen. Zinsrechnung ist Prozentrechnung mit neuen Namen. Wenn du die Prozentrechnung kannst, kannst du auch Zinsen berechnen.

Erklärung

Die Begriffe

Zinsrechnung	Zeichen	entspricht in der Prozentrechnung
Kapital (angelegtes oder geliehenes Geld)	$K$	Grundwert $G$
Zinssatz (pro Jahr)	$p\,\%$	Prozentsatz
Jahreszinsen	$Z$	Prozentwert $W$

Der Zinssatz gilt immer für ein Jahr, wenn nichts anderes dabeisteht.

Jahreszinsen berechnen

$Z = K \cdot \frac{p}{100}$

Du kannst auch hier mit dem Dreisatz rechnen: 100 % sind das Kapital, 1 % ist ein Hundertstel davon.

Zinsen für einen Teil des Jahres

Liegt das Geld nur einige Monate auf dem Konto, bekommst du nur den passenden Teil der Jahreszinsen. Bei $m$ Monaten sind das $\frac{m}{12}$ der Jahreszinsen.

$Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{m}{12}$

Rechne am besten in zwei Schritten: erst die Jahreszinsen, dann den Anteil für die Monate.

Rückwärts: Zinssatz oder Kapital gesucht

Genau wie in der Prozentrechnung:

• Zinssatz: $p\,\% = \frac{Z}{K}$ (Zinsen durch Kapital).
• Kapital: $K = Z : \frac{p}{100}$ (über 1 % auf 100 %).

Beispiele

Beispiel 1: Sparen. 500 € zu 2 % für ein Jahr.

$Z = 500\,€ \cdot 0{,}02 = 10\,€$. Nach einem Jahr sind $510\,€$ auf dem Konto.

Beispiel 2: Nur einige Monate. 1200 € werden für 8 Monate zu 1,5 % angelegt.

Jahreszinsen: $1200\,€ \cdot 0{,}015 = 18\,€$. Für 8 Monate: $18\,€ \cdot \frac{8}{12} = 12\,€$.

Beispiel 3: Zinssatz gesucht. 3000 € bringen in einem Jahr 75 € Zinsen.

$\frac{75}{3000} = 0{,}025 = 2{,}5\,\%$.

Beispiel 4: Kapital gesucht. Bei 2 % Zinsen bekommt Frau Kaya 36 € Zinsen im Jahr. Wie viel Geld hat sie angelegt?

2 % sind 36 €, 1 % sind 18 €, 100 % sind 1800 €.

Merksatz

Zinsrechnung ist Prozentrechnung: Kapital = Grundwert, Zinssatz = Prozentsatz, Zinsen = Prozentwert. Jahreszinsen: $Z = K \cdot \frac{p}{100}$. Für $m$ Monate gibt es $\frac{m}{12}$ der Jahreszinsen.

Übungen

Grundlagen

1. Berechne die Jahreszinsen: a) 800 € zu 3 %, b) 2500 € zu 1,2 %, c) ein Kredit über 15 000 € zu 6 %.
2. 4000 € bringen in einem Jahr 140 € Zinsen. Wie hoch ist der Zinssatz?
3. Bei einem Zinssatz von 2,5 % erhält Jonas 45 € Jahreszinsen. Wie viel Geld hat er angelegt?

Weiter

4. 2400 € werden für 3 Monate zu 2 % angelegt. Wie viele Zinsen gibt es?
5. Lina leiht sich 600 € für ein halbes Jahr. Der Zinssatz beträgt 9 %. Wie viel muss sie nach einem halben Jahr insgesamt zurückzahlen?
6. Herr Weber möchte 5000 € ein Jahr lang anlegen. Bank A zahlt 1,8 % Zinsen. Bank B zahlt 2 %, verlangt aber 15 € Kontogebühr im Jahr. Welches Angebot ist besser?

Knobeln

7. 1000 € werden zu 3 % angelegt. Die Zinsen bleiben jedes Jahr auf dem Konto und werden im nächsten Jahr mitverzinst. Wie viel Geld ist nach drei Jahren auf dem Konto? Vergleiche mit dem Betrag, den man ohne Mitverzinsung der Zinsen hätte.
8. Wie viele Monate muss man 3600 € zu 2 % anlegen, um 42 € Zinsen zu bekommen?

Lösungen

1. a) $800\,€ \cdot 0{,}03 = 24\,€$. b) $2500\,€ \cdot 0{,}012 = 30\,€$. c) $15\,000\,€ \cdot 0{,}06 = 900\,€$.
2. $\frac{140}{4000} = 0{,}035 = 3{,}5\,\%$.
3. $45\,€ : 0{,}025 = 1800\,€$.
4. Jahreszinsen $2400\,€ \cdot 0{,}02 = 48\,€$, für 3 Monate $48\,€ \cdot \frac{3}{12} = 12\,€$.
5. Jahreszinsen $600\,€ \cdot 0{,}09 = 54\,€$, für ein halbes Jahr 27 €. Zurückzahlen: $600\,€ + 27\,€ = 627\,€$.
6. Bank A: $5000\,€ \cdot 0{,}018 = 90\,€$. Bank B: $5000\,€ \cdot 0{,}02 = 100\,€$, minus 15 € Gebühr, bleiben 85 €. Bank A ist um 5 € besser.
7. Nach einem Jahr: $1000\,€ \cdot 1{,}03 = 1030\,€$. Nach zwei Jahren: $1030\,€ \cdot 1{,}03 = 1060{,}90\,€$. Nach drei Jahren: $1060{,}90\,€ \cdot 1{,}03 = 1092{,}727\,€ \approx 1092{,}73\,€$. Ohne Mitverzinsung gäbe es dreimal 30 €, also 1090 €. Durch die Zinseszinsen sind es 2,73 € mehr.
8. Jahreszinsen $3600\,€ \cdot 0{,}02 = 72\,€$. $\frac{42}{72} = \frac{7}{12}$. Man muss das Geld 7 Monate anlegen.