Rabatt und Mehrwertsteuer: vermehrter und verminderter Grundwert

Einstieg

Turnschuhe kosten 90 €. Im Schlussverkauf gibt es 20 % Rabatt. Wie viel kosten sie jetzt? Du könntest erst den Rabatt ausrechnen ($0{,}2 \cdot 90\,€ = 18\,€$) und dann abziehen: $90\,€ - 18\,€ = 72\,€$. Es geht aber in einem Schritt: Wenn 20 % wegfallen, bleiben 80 % übrig. $0{,}8 \cdot 90\,€ = 72\,€$.

Erklärung

Verminderter Grundwert

Wird ein Wert um $p\,\%$ verringert, bleiben $(100 - p)\,\%$ übrig. Den neuen Wert nennt man verminderten Grundwert.

$\text{neuer Wert} = G \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)$

Bei 20 % Rabatt ist der Faktor $1 - 0{,}2 = 0{,}8$.

Vermehrter Grundwert

Wird ein Wert um $p\,\%$ erhöht, hast du danach $(100 + p)\,\%$ des alten Werts. Das ist der vermehrte Grundwert.

$\text{neuer Wert} = G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$

Bei einer Erhöhung um 19 % ist der Faktor $1{,}19$.

Am Prozentstreifen siehst du das so: Der Streifen für den alten Wert ist 100 %. Bei einer Erhöhung hängst du ein Stück an, bei einer Senkung schneidest du ein Stück ab.

Mehrwertsteuer

In Deutschland steckt in den meisten Preisen eine Mehrwertsteuer von 19 % (für Lebensmittel und einige andere Waren 7 %). Sie wird auf den Nettopreis aufgeschlagen. Heraus kommt der Bruttopreis, den du an der Kasse zahlst.

$\text{Brutto} = \text{Netto} \cdot 1{,}19$

Rückwärts rechnen

Kennst du den neuen Wert und suchst den alten, teilst du durch den Faktor. Der alte Wert ist der Grundwert, also 100 %.

$\text{Netto} = \text{Brutto} : 1{,}19$

Ein häufiger Fehler ist, vom Bruttopreis 19 % abzuziehen. Das ist falsch, weil die 19 % vom Nettopreis berechnet wurden, nicht vom Bruttopreis.

Mehrere Änderungen nacheinander

Ändert sich ein Wert mehrmals, nimmst du die Faktoren nacheinander mal. Die Prozentsätze darfst du dabei nicht addieren.

Beispiele

Beispiel 1: Mehrwertsteuer aufschlagen. Ein Fahrradhelm kostet netto 50 €. Bruttopreis: $50\,€ \cdot 1{,}19 = 59{,}50\,€$.

Beispiel 2: Rückwärts. Ein Rucksack kostet brutto 59,50 €. Wie hoch ist der Nettopreis?

Richtig: $59{,}50\,€ : 1{,}19 = 50\,€$. Probe: $50\,€ \cdot 1{,}19 = 59{,}50\,€$.

Falsch wäre: $59{,}50\,€ \cdot 0{,}81 \approx 48{,}20\,€$. Darauf 19 % ergibt nur etwa 57,36 €.

Beispiel 3: Erst teurer, dann billiger. Ein Preis von 200 € steigt um 10 % und sinkt danach um 10 %.

$200\,€ \cdot 1{,}1 = 220\,€$, danach $220\,€ \cdot 0{,}9 = 198\,€$. Der Preis ist am Ende 1 % niedriger als am Anfang, denn $1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99$. Die zweite Änderung bezieht sich auf einen größeren Grundwert.

Merksatz

Erhöhung um $p\,\%$: mal $\left(1 + \frac{p}{100}\right)$. Senkung um $p\,\%$: mal $\left(1 - \frac{p}{100}\right)$. Rückwärts: durch denselben Faktor teilen. Bei mehreren Änderungen werden die Faktoren multipliziert, nicht die Prozentsätze addiert.

Übungen

Grundlagen

1. Gib den Faktor an: a) Erhöhung um 5 %, b) Senkung um 30 %, c) Erhöhung um 19 %, d) Senkung um 2,5 %.
2. a) Eine Hose für 60 € wird um 15 % reduziert. Neuer Preis? b) Eine Miete von 800 € steigt um 3 %. Neue Miete?
3. Ein Spiel kostet netto 40 €. Wie viel kostet es mit 19 % Mehrwertsteuer?

Weiter

4. Nach 25 % Rabatt kostet eine Jacke 45 €. Wie teuer war sie vorher?
5. Tom meint: „Wenn ein Preis erst um 20 % steigt und dann um 20 % sinkt, ist er wieder so hoch wie vorher.“ Prüfe das an einem Preis von 100 €.
6. Eine Stadt hat 24 000 Einwohner. Die Zahl wächst jedes Jahr um 2 %. Wie viele Einwohner hat sie nach einem Jahr, wie viele nach zwei Jahren?

Knobeln

7. Ein Geschäft wirbt: „30 % Rabatt und an der Kasse noch einmal 20 %.“ Ein Kunde sagt: „Das sind ja 50 %.“ Wie viel Prozent spart er wirklich?
8. Ein Preis wird um 25 % erhöht. Um wie viel Prozent muss er danach gesenkt werden, damit wieder der alte Preis herauskommt?

Lösungen

1. a) 1,05. b) 0,7. c) 1,19. d) 0,975.
2. a) $60\,€ \cdot 0{,}85 = 51\,€$. b) $800\,€ \cdot 1{,}03 = 824\,€$.
3. $40\,€ \cdot 1{,}19 = 47{,}60\,€$.
4. 45 € sind 75 % des alten Preises. $45\,€ : 0{,}75 = 60\,€$.
5. $100\,€ \cdot 1{,}2 = 120\,€$, dann $120\,€ \cdot 0{,}8 = 96\,€$. Der Preis ist danach 4 % niedriger. Tom hat nicht recht, weil sich die Senkung auf 120 € bezieht.
6. Nach einem Jahr: $24\,000 \cdot 1{,}02 = 24\,480$. Nach zwei Jahren: $24\,480 \cdot 1{,}02 = 24\,969{,}6$, also etwa 24 970 Einwohner.
7. $0{,}7 \cdot 0{,}8 = 0{,}56$. Der Kunde zahlt 56 % des ursprünglichen Preises und spart 44 %, nicht 50 %.
8. Gesucht ist ein Faktor $q$ mit $1{,}25 \cdot q = 1$. $q = 1 : 1{,}25 = 0{,}8$. Der Preis muss um 20 % gesenkt werden.