Prozente als Anteile: Bruch, Dezimalzahl, Prozent

Einstieg

Beim Basketballtraining zählen Lena und Ole ihre Freiwürfe. Lena trifft 13 von 20 Würfen, Ole trifft 16 von 25. Ole hat öfter getroffen, aber er hat auch öfter geworfen. Wer wirft besser? Du könntest die Brüche $\frac{13}{20}$ und $\frac{16}{25}$ auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Es gibt aber einen Nenner, den alle Menschen gleich verstehen: 100. Anteile mit dem Nenner 100 heißen Prozent.

Erklärung

Was Prozent bedeutet

„Prozent“ kommt aus dem Lateinischen und heißt „von Hundert“. Das Zeichen ist %.

$1\,\% = \frac{1}{100} = 0{,}01 \qquad 65\,\% = \frac{65}{100} = 0{,}65$

Prozent ist also keine Einheit wie Meter oder Euro, sondern eine Schreibweise für Brüche mit dem Nenner 100. Ein Anteil kann als Bruch, als Dezimalzahl oder in Prozent angegeben werden. Das ist dieselbe Zahl in drei Schreibweisen.

Umwandeln

von	nach	So geht es	Beispiel
Bruch	Prozent	auf Nenner 100 erweitern oder kürzen	$\frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 15\,\%$
Bruch	Prozent	wenn das nicht geht: Zähler durch Nenner teilen	$\frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%$
Dezimalzahl	Prozent	Komma zwei Stellen nach rechts	$0{,}07 = 7\,\%$, $\;1{,}2 = 120\,\%$
Prozent	Dezimalzahl	Komma zwei Stellen nach links	$45\,\% = 0{,}45$
Prozent	Bruch	als Hundertstel schreiben und kürzen	$45\,\% = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$

Diese Werte solltest du auswendig kennen

Bruch	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$
Prozent	50 %	25 %	75 %	20 %	10 %	12,5 %	ca. 33,3 %	ca. 66,7 %

Der Prozentstreifen

Ein Prozentstreifen ist ein Streifen, der das Ganze darstellt, also 100 %. Er wird in gleich große Teile eingeteilt. Bei einem 10 cm langen Streifen ist 1 cm genau 10 %. So siehst du sofort, dass 25 % ein Viertel des Streifens sind. Der Streifen hilft dir in den nächsten Lektionen beim Rechnen.

Mehr als 100 %

100 % ist das Ganze. Ein Anteil an einer Gruppe kann nicht größer sein. Beim Vergleich mit einem früheren Wert geht das aber: Wenn ein Baum heute doppelt so hoch ist wie vor fünf Jahren, ist er heute 200 % so hoch wie damals.

Beispiele

Beispiel 1: Die Freiwürfe. Lena: $\frac{13}{20} = \frac{65}{100} = 65\,\%$ (erweitert mit 5). Ole: $\frac{16}{25} = \frac{64}{100} = 64\,\%$ (erweitert mit 4). Lena hat die bessere Trefferquote, auch wenn Ole mehr Treffer hat.

Beispiel 2: Nicht auf 100 erweiterbar. $\frac{3}{8}$: 100 ist nicht durch 8 teilbar. Rechne $3 : 8 = 0{,}375$, also $37{,}5\,\%$.

Beispiel 3: Gerundete Prozentangaben. $\frac{2}{3} = 2 : 3 = 0{,}666\ldots \approx 66{,}7\,\%$. Bei Dritteln, Siebteln oder Neunteln rundest du meist auf eine Nachkommastelle.

Beispiel 4: Rückwärts. $45\,\% = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$ (gekürzt durch 5) $= 0{,}45$.

Merksatz

Prozent heißt „von Hundert“: $p\,\% = \frac{p}{100}$. Bruch, Dezimalzahl und Prozentangabe sind drei Schreibweisen für dieselbe Zahl. Prozente machen Anteile vergleichbar, weil alle denselben Nenner haben.

Übungen

Grundlagen

1. Schreibe in Prozent: a) $\frac{1}{4}$, b) $\frac{7}{10}$, c) $0{,}08$, d) $0{,}375$.
2. Schreibe als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl: a) 40 %, b) 5 %, c) 125 %.
3. Ordne der Größe nach: $0{,}3$; $\frac{1}{4}$; 28 %; $\frac{2}{7}$.

Weiter

4. In der 7a nennen 12 von 40 Kindern Sport als Lieblingsfach, in der 7b sind es 9 von 25 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil größer? Gib beide Anteile in Prozent an.
5. Tim sagt: „Ein Drittel sind 30 Prozent.“ Erkläre, was an der Aussage falsch ist.
6. Zeichne einen Prozentstreifen von 10 cm Länge. Markiere 25 %, 60 % und $\frac{1}{3}$. Wie weit ist $\frac{1}{3}$ vom Anfang entfernt?

Knobeln

7. Welcher Bruch mit dem Nenner 7 liegt am nächsten an 50 %? Rechne nach und erkläre dein Ergebnis.
8. Ein Laden wirbt: „150 % mehr Inhalt.“ Eine andere Packung sagt: „Jetzt 150 % des alten Inhalts.“ Die alte Packung hatte 200 g. Wie viel ist jeweils drin?

Lösungen

1. a) 25 %. b) 70 %. c) 8 %. d) 37,5 %.
2. a) $\frac{40}{100} = \frac{2}{5} = 0{,}4$. b) $\frac{5}{100} = \frac{1}{20} = 0{,}05$. c) $\frac{125}{100} = \frac{5}{4} = 1{,}25$.
3. In Prozent: 30 %, 25 %, 28 %, $\frac{2}{7} = 0{,}2857\ldots \approx 28{,}6\,\%$. Aufsteigend: $\frac{1}{4} < 28\,\% < \frac{2}{7} < 0{,}3$.
4. 7a: $\frac{12}{40} = \frac{3}{10} = 30\,\%$. 7b: $\frac{9}{25} = \frac{36}{100} = 36\,\%$. In der 7b ist der Anteil größer.
5. $\frac{1}{3} = 1 : 3 = 0{,}333\ldots \approx 33{,}3\,\%$. 30 % sind $\frac{3}{10}$ und damit weniger als ein Drittel.
6. 25 % bei 2,5 cm, 60 % bei 6 cm. $\frac{1}{3}$ von 10 cm sind $3{,}\overline{3}$ cm, also ungefähr 3,3 cm.
7. $\frac{3}{7} \approx 42{,}9\,\%$ und $\frac{4}{7} \approx 57{,}1\,\%$. Beide liegen gleich weit von 50 % entfernt, nämlich um $\frac{1}{14} \approx 7{,}1\,\%$. Denn 50 % sind $\frac{3{,}5}{7}$, und 3 und 4 liegen gleich weit von 3,5.
8. „150 % mehr“: Zu den 200 g kommen 150 % von 200 g = 300 g dazu, zusammen 500 g. „150 % des alten Inhalts“: $1{,}5 \cdot 200\,\text{g} = 300\,\text{g}$. Die Formulierungen klingen ähnlich, bedeuten aber Verschiedenes.