Prozente im Kreisdiagramm, Prozentpunkte und typische Fehler

Einstieg

In der Zeitung steht: „Der Anteil der Schülerinnen und Schüler, die mit dem Rad kommen, ist von 20 % auf 25 % gestiegen, also um 5 %.“ Stimmt das? Und wie zeichnet man so eine Umfrage als Kreisdiagramm? In dieser Lektion wiederholst du alles aus der Reihe, lernst Prozente im Kreisdiagramm darzustellen und siehst die Fehler, die selbst in Zeitungen vorkommen.

Erklärung

Prozente im Kreisdiagramm

Ein Kreisdiagramm zeigt, wie sich ein Ganzes (100 %) aufteilt. Der ganze Kreis hat 360°. Also gilt:

$1\,\% \;\hat{=}\; 3{,}6^\circ$

So gehst du vor:

1. Berechne zu jeder Kategorie den Prozentsatz.
2. Rechne jeden Prozentsatz in einen Winkel um: mal 3,6°.
3. Prüfe: Die Prozentsätze ergeben zusammen 100 %, die Winkel 360°.
4. Zeichne die Winkel mit dem Geodreieck nacheinander ein.

Prozent oder Prozentpunkte?

Ändert sich ein Prozentsatz, gibt es zwei Arten, die Änderung zu beschreiben:

• Der Unterschied der Prozentsätze heißt Prozentpunkte. Von 20 % auf 25 % sind es 5 Prozentpunkte.
• Die Änderung im Verhältnis zum alten Wert wird in Prozent angegeben. 5 Prozentpunkte mehr, bezogen auf 20 %, sind $\frac{5}{20} = 25\,\%$ mehr.

Die Zeitung im Einstieg hätte also schreiben müssen: „um 5 Prozentpunkte“ oder „um 25 %“.

Die häufigsten Fehler

Fehler	Beispiel	So ist es richtig
Falscher Grundwert bei Änderungen	„Von 80 € auf 100 € sind 20 %.“	Grundwert ist der alte Wert: $\frac{20}{80} = 25\,\%$
Rückwärts mit Prozent statt mit Faktor	Netto = Brutto minus 19 %	Netto = Brutto : 1,19
Prozentsätze addiert	„30 % und dann 20 % Rabatt sind 50 %.“	$0{,}7 \cdot 0{,}8 = 0{,}56$, also 44 % Rabatt
„+ 10 % und − 10 % heben sich auf.“	100 € → 110 € → 100 €	$110 \cdot 0{,}9 = 99$ €
Durch den Prozentsatz geteilt	20 % von 150 = $150 : 20$	$0{,}2 \cdot 150 = 30$
Prozent und Prozentpunkte verwechselt	20 % → 25 % „sind 5 % mehr“	5 Prozentpunkte oder 25 % mehr

Beispiele

Beispiel 1: Kreisdiagramm. 200 Kinder wurden nach ihrem Schulweg gefragt: 80 Bus, 50 Fahrrad, 40 zu Fuß, 30 Auto.

Schulweg	Anzahl	Prozent	Winkel
Bus	80	40 %	144°
Fahrrad	50	25 %	90°
zu Fuß	40	20 %	72°
Auto	30	15 %	54°
Summe	200	100 %	360°

Beispiel 2: Prozentpunkte. Die Wahlbeteiligung bei der Schülervertretung stieg von 40 % auf 50 %. Das sind 10 Prozentpunkte mehr. Bezogen auf die alte Beteiligung ist es eine Steigerung um $\frac{10}{40} = 25\,\%$.

Merksatz

Im Kreisdiagramm entspricht 1 % einem Winkel von 3,6°. Der Unterschied zweier Prozentsätze wird in Prozentpunkten angegeben. Bei jeder Prozentaufgabe zuerst fragen: Was ist das Ganze, also der Grundwert?

Übungen

Grundlagen

1. Berechne: a) 35 % von 240, b) Wie viel Prozent sind 54 von 72? c) 15 % sind 24 €. Wie viel sind 100 %?
2. Lena bekommt 40 € Taschengeld im Monat. Sie gibt 14 € für Freizeit aus, spart 10 € und gibt je 8 € für Essen und Sonstiges aus. Berechne die Prozentsätze und die Winkel für ein Kreisdiagramm.
3. Eine Hose kostet nach 30 % Rabatt 63 €. Wie viel hat sie vorher gekostet?

Weiter

4. Erkläre, was an der Rechnung falsch ist, und rechne richtig: „Die Hose kostet nach 30 % Rabatt 63 €. Vorher kostete sie $63\,€ + 30\,\%$ von $63\,€ = 81{,}90\,€$.“
5. Der Anteil der Kinder einer Schule, die ein Instrument spielen, ist von 30 % auf 36 % gestiegen. Beschreibe die Änderung in Prozentpunkten und in Prozent.
6. Ein Smartphone kostet im Laden A 10 % mehr als im Laden B. Ist es dann in Laden B um 10 % billiger als in Laden A? Prüfe mit einem Preis von 300 € in Laden B.

Knobeln

7. 1 kg frische Gurken besteht zu 99 % aus Wasser. Die Gurken liegen in der Sonne und trocknen, bis sie nur noch zu 98 % aus Wasser bestehen. Wie schwer sind sie jetzt? (Tipp: Was ändert sich nicht?)
8. Erfinde selbst eine Aufgabe, bei der jemand den Fehler „Prozentsätze addiert“ machen könnte. Löse sie richtig.

Lösungen

1. a) $0{,}35 \cdot 240 = 84$. b) $\frac{54}{72} = 0{,}75 = 75\,\%$. c) 1 % sind 1,60 €, 100 % sind 160 €.
2. Freizeit $\frac{14}{40} = 35\,\%$, Winkel $35 \cdot 3{,}6^\circ = 126^\circ$. Sparen $\frac{10}{40} = 25\,\%$, $90^\circ$. Essen $\frac{8}{40} = 20\,\%$, $72^\circ$. Sonstiges 20 %, $72^\circ$. Summe: 100 % und 360°.
3. 63 € sind 70 % des alten Preises: $63\,€ : 0{,}7 = 90\,€$.
4. Die 30 % Rabatt wurden vom alten Preis berechnet, nicht von 63 €. Darum darf man nicht 30 % von 63 € aufschlagen. Richtig ist 90 € (siehe Aufgabe 3). Probe: $90\,€ \cdot 0{,}7 = 63\,€$.
5. Unterschied: 6 Prozentpunkte. Im Verhältnis zum alten Wert: $\frac{6}{30} = 20\,\%$ mehr.
6. Laden B: 300 €, Laden A: $300\,€ \cdot 1{,}1 = 330\,€$. B ist 30 € billiger als A. Bezogen auf A sind das $\frac{30}{330} \approx 9{,}1\,\%$, also nicht 10 %. Der Grundwert ist jetzt der Preis in Laden A.
7. Gleich bleibt die Trockenmasse: 1 % von 1000 g = 10 g. Nach dem Trocknen sind diese 10 g genau 2 % des Gewichts. 2 % sind 10 g, 100 % sind 500 g. Die Gurken wiegen nur noch 500 g.
8. Individuelle Lösung. Beispiel: Ein Preis von 50 € steigt um 10 % und dann noch einmal um 10 %. Falsch: 20 % mehr, also 60 €. Richtig: $50\,€ \cdot 1{,}1 \cdot 1{,}1 = 60{,}50\,€$, eine Steigerung um 21 %.