Grundwert und Prozentsatz berechnen

Einstieg

Zwei Fragen aus dem Schulalltag:

• In der Klassenarbeit hast du 27 von 36 Punkten. Wie viel Prozent sind das?
• Bei einer Umfrage haben 63 Kinder mit „Ja“ geantwortet. In der Zeitung steht: „35 % der Befragten sagen Ja.“ Wie viele Kinder wurden befragt?

In der letzten Lektion war immer der Prozentwert gesucht. Jetzt suchst du einmal den Prozentsatz und einmal den Grundwert.

Erklärung

Welche Größe ist gesucht?

Ordne zuerst die Angaben dem Satz „$p\,\%$ von $G$ sind $W$“ zu. Was fehlt, ist gesucht.

Gegeben	Gesucht	Formel	Typische Frage
$G$ und $p\,\%$	Prozentwert $W$	$W = G \cdot \frac{p}{100}$	„Wie viel sind 15 % von …?“
$G$ und $W$	Prozentsatz $p\,\%$	$p\,\% = \frac{W}{G}$	„Wie viel Prozent sind …?“
$W$ und $p\,\%$	Grundwert $G$	$G = W : \frac{p}{100}$	„… das sind 35 %. Wie viel ist das Ganze?“

Du musst dir die Formeln nicht merken, wenn du den Dreisatz sicher kannst. Der Dreisatz funktioniert für alle drei Fälle.

Prozentsatz berechnen

Der Prozentsatz ist der Anteil $\frac{W}{G}$, geschrieben in Prozent. Teile den Teil durch das Ganze und wandle das Ergebnis in Prozent um.

$\frac{27}{36} = \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\,\%$

Grundwert berechnen

Hier gehst du im Dreisatz von dem bekannten Prozentsatz auf 1 % und dann auf 100 %.

Prozent	Kinder
35 %	63
1 %	$63 : 35 = 1{,}8$
100 %	180

Mit der Formel: $G = 63 : 0{,}35 = 180$.

Achtung: Was ist das Ganze?

Bei Veränderungen ist der Grundwert immer der Ausgangswert, also der Wert vorher. Das ist eine der häufigsten Fehlerquellen. Beispiel 3 zeigt, warum.

Beispiele

Beispiel 1: Prozentsatz. Von 650 Losen sind 13 Gewinnlose. Wie viel Prozent der Lose gewinnen?

$\frac{13}{650} = 0{,}02 = 2\,\%$. Zwei Prozent der Lose gewinnen.

Beispiel 2: Grundwert. Eine Jacke ist um 18 € reduziert. Das sind 15 % Rabatt. Wie teuer war die Jacke vorher?

15 % sind 18 €, 1 % ist $18\,€ : 15 = 1{,}20\,€$, 100 % sind 120 €. Die Jacke kostete vorher 120 € und kostet jetzt $120\,€ - 18\,€ = 102\,€$.

Beispiel 3: Gleicher Betrag, anderer Prozentsatz.

• Ein Preis sinkt von 50 € auf 40 €. Die Änderung ist 10 €, der Grundwert 50 €. $\frac{10}{50} = 20\,\%$. Der Preis sinkt um 20 %.
• Ein Preis steigt von 40 € auf 50 €. Die Änderung ist wieder 10 €, aber der Grundwert ist jetzt 40 €. $\frac{10}{40} = 25\,\%$. Der Preis steigt um 25 %.

Derselbe Unterschied von 10 € ergibt verschiedene Prozentsätze, weil das Ganze verschieden ist.

Merksatz

Prozentsatz: Teil durch Ganzes, $p\,\% = \frac{W}{G}$. Grundwert: über 1 % auf 100 % hochrechnen, $G = W : \frac{p}{100}$. Bei Änderungen ist der Grundwert der Wert vor der Änderung.

Übungen

Grundlagen

1. Wie viel Prozent sind es? a) 9 von 20, b) 42 von 120, c) 7 von 8.
2. Berechne den Grundwert: a) 10 % sind 17 €, b) 25 % sind 45 kg, c) 6 % sind 27 Personen.
3. Was ist gesucht? Rechne dann. a) 20 % der Klasse, das sind 6 Kinder, kommen zu Fuß. Wie viele Kinder hat die Klasse? b) Wie viel sind 12 % von 450 €?

Weiter

4. Mira sagt: „Der Preis ist von 80 € auf 100 € gestiegen, also um 20 %.“ Hat sie recht? Begründe.
5. In einer Klassenarbeit gibt es 48 Punkte. Lea hat 30 Punkte. a) Wie viel Prozent sind das? b) Für eine bessere Note braucht man mindestens 80 %. Wie viele ganze Punkte sind das mindestens?
6. Bei einer Schulsprecherwahl erhält Ayla 234 Stimmen, das sind 26 %. Ben erhält 198 Stimmen. Wie viel Prozent hat Ben?

Knobeln

7. In einer Schule sind 52 % der Schülerinnen und Schüler Mädchen. Es gibt 36 Mädchen mehr als Jungen. Wie viele Schülerinnen und Schüler hat die Schule?
8. Ein Fußballverein hat 20 % mehr Mitglieder als im Vorjahr. Jetzt sind es 300. Mia rechnet: „20 % von 300 sind 60, also waren es vorher 240.“ Prüfe ihr Ergebnis und rechne richtig.

Lösungen

1. a) $\frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 45\,\%$. b) $\frac{42}{120} = 0{,}35 = 35\,\%$. c) $\frac{7}{8} = 0{,}875 = 87{,}5\,\%$.
2. a) 170 €. b) $45\,\text{kg} \cdot 4 = 180\,\text{kg}$. c) 1 % sind 4,5 Personen, 100 % sind 450 Personen.
3. a) Gesucht ist der Grundwert: $6 : 0{,}2 = 30$ Kinder. b) Gesucht ist der Prozentwert: $0{,}12 \cdot 450\,€ = 54\,€$.
4. Nein. Die Erhöhung beträgt 20 €, der Grundwert ist der alte Preis 80 €. $\frac{20}{80} = 25\,\%$.
5. a) $\frac{30}{48} = 0{,}625 = 62{,}5\,\%$. b) $0{,}8 \cdot 48 = 38{,}4$. Mit ganzen Punkten braucht Lea mindestens 39 Punkte.
6. Grundwert: $234 : 0{,}26 = 900$ Stimmen. Ben: $\frac{198}{900} = 0{,}22 = 22\,\%$.
7. Jungen sind 48 %. Der Unterschied ist $52\,\% - 48\,\% = 4\,\%$, das sind 36. 1 % sind 9, 100 % sind 900 Schülerinnen und Schüler. (Probe: 468 Mädchen, 432 Jungen, Unterschied 36.)
8. Probe: 20 % von 240 sind 48, also $240 + 48 = 288$ und nicht 300. Mia hat den falschen Grundwert genommen. Richtig: 300 Mitglieder sind 120 % des Vorjahrs. 1 % sind 2,5, also waren es 250 Mitglieder. Probe: $250 \cdot 1{,}2 = 300$.