Prozentwert berechnen mit Dreisatz und Formel

Einstieg

Jana möchte ein Fahrrad für 480 € kaufen. Das Geschäft verlangt beim Bestellen eine Anzahlung von 15 %. Wie viel Geld muss sie mitbringen? Du kennst das Ganze (480 €) und den Anteil in Prozent (15 %). Gesucht ist der Betrag, der zu diesem Anteil gehört.

Erklärung

Die drei Begriffe der Prozentrechnung

In jeder Prozentaufgabe kommen drei Größen vor:

Begriff	Zeichen	Bedeutung	im Fahrradbeispiel
Grundwert	$G$	das Ganze, entspricht 100 %	480 €
Prozentsatz	$p\,\%$	der Anteil in Prozent	15 %
Prozentwert	$W$	der Teil, der zum Prozentsatz gehört	gesucht

Ein Satz hilft dir beim Zuordnen: „$p\,\%$ von $G$ sind $W$.“ Der Grundwert steht fast immer hinter dem Wort „von“.

Weg 1: Dreisatz

Prozentwert und Prozentsatz sind proportional: Doppelt so viele Prozent bedeuten den doppelten Betrag. Darum funktioniert der Dreisatz.

Prozent	Betrag
100 %	480 €
1 %	4,80 €
15 %	72 €

Von 100 % auf 1 % teilst du durch 100, von 1 % auf 15 % nimmst du mal 15. Auf der rechten Seite machst du dasselbe.

Weg 2: Formel

Der Dreisatz kurz geschrieben ergibt die Formel:

$W = G \cdot \frac{p}{100}$

Mit der Dezimalzahl geht es noch schneller: 15 % sind 0,15, also $W = 0{,}15 \cdot 480\,€ = 72\,€$.

Weg 3: Geschickt im Kopf

Prozent	Rechnung
50 %	durch 2
25 %	durch 4
20 %	durch 5
10 %	durch 10
5 %	die Hälfte von 10 %
1 %	durch 100

Zusammengesetzte Prozentsätze baust du aus diesen Bausteinen: 15 % = 10 % + 5 %. Von 480 € sind das $48\,€ + 24\,€ = 72\,€$.

Beispiele

Beispiel 1: Mit Bausteinen. Wie viel sind 35 % von 60 kg?

10 % sind 6 kg, also 30 % gleich 18 kg. 5 % sind 3 kg. Zusammen: $18\,\text{kg} + 3\,\text{kg} = 21\,\text{kg}$.

Kontrolle mit der Formel: $0{,}35 \cdot 60\,\text{kg} = 21\,\text{kg}$.

Beispiel 2: Krumme Prozentsätze. Wie viel sind 2,5 % von 840 €?

Dreisatz: 1 % sind 8,40 €. 2,5 % sind $2{,}5 \cdot 8{,}40\,€ = 21\,€$.

Formel: $0{,}025 \cdot 840\,€ = 21\,€$.

Beispiel 3: Mehr als 100 %. Ein Verein hatte letztes Jahr 45 Mitglieder. Dieses Jahr sind es 120 % davon. $1{,}2 \cdot 45 = 54$ Mitglieder.

Merksatz

„$p\,\%$ von $G$ sind $W$.“ Den Prozentwert berechnest du mit dem Dreisatz über 1 % oder mit der Formel $W = G \cdot \frac{p}{100}$. Prüfe mit einem Überschlag: Bei weniger als 100 % muss $W$ kleiner als $G$ sein.

Übungen

Grundlagen

1. Berechne im Kopf: a) 10 % von 350 €, b) 25 % von 64 m, c) 1 % von 2500 Einwohnern.
2. Berechne: a) 30 % von 90 kg, b) 15 % von 260 €, c) 8 % von 75 Litern.
3. Eine Schule hat 840 Schülerinnen und Schüler. 45 % kommen mit dem Bus. Wie viele sind das?

Weiter

4. Ein Handy-Akku hat neu eine Kapazität von 4000 mAh. Nach zwei Jahren hat er nur noch 85 % davon. Wie groß ist die Kapazität jetzt?
5. Lukas rechnet „20 % von 150“ so: $150 : 20 = 7{,}5$. Erkläre seinen Fehler und rechne richtig.
6. Die Klassenkasse enthält 360 €. 40 % sind für die Busfahrt, 35 % für Eintrittsgelder, der Rest für das Essen. Wie viel Geld ist für jeden Posten da?

Knobeln

7. Ist 30 % von 70 dasselbe wie 70 % von 30? Rechne beides aus und erkläre, warum das immer so ist.
8. Rechne geschickt im Kopf: a) 18 % von 250, b) 4 % von 75. (Tipp: Aufgabe 7.)

Lösungen

1. a) 35 €. b) 16 m. c) 25 Einwohner.
2. a) $0{,}3 \cdot 90\,\text{kg} = 27\,\text{kg}$. b) 10 % = 26 €, 5 % = 13 €, zusammen 39 €. c) $0{,}08 \cdot 75\,\ell = 6\,\ell$.
3. $0{,}45 \cdot 840 = 378$. Es kommen 378 Schülerinnen und Schüler mit dem Bus.
4. $0{,}85 \cdot 4000\,\text{mAh} = 3400\,\text{mAh}$.
5. Lukas teilt durch den Prozentsatz. Das ergibt keinen Sinn. Richtig: 10 % von 150 sind 15, also 20 % gleich 30. Oder $0{,}2 \cdot 150 = 30$.
6. Busfahrt: $0{,}4 \cdot 360\,€ = 144\,€$. Eintritt: $0{,}35 \cdot 360\,€ = 126\,€$. Essen: $100\,\% - 75\,\% = 25\,\%$, also 90 €. Probe: $144 + 126 + 90 = 360$.
7. $0{,}3 \cdot 70 = 21$ und $0{,}7 \cdot 30 = 21$. Es gilt immer, weil $\frac{a}{100} \cdot b = \frac{a \cdot b}{100} = \frac{b}{100} \cdot a$. Man darf die Faktoren vertauschen.
8. a) 10 % von 250 sind 25, 8 % sind 20, zusammen 45. (Oder: 250 % von 18 sind $2{,}5 \cdot 18 = 45$.) b) 4 % von 75 sind dasselbe wie 75 % von 4, also 3.