Zinsrechnen und typische Fehler beim Prozentrechnen

Einstieg

Sara hat 2'500 Fr. auf ihrem Jugendsparkonto. Die Bank zahlt 1.25 % Zins im Jahr. Ihr Bruder nimmt für ein Auto einen Kleinkredit von 6'000 Fr. zu 9.5 % auf und zahlt ihn nach 8 Monaten zurück. Wer bekommt Zins, wer bezahlt Zins, und wie viel?

Zinsrechnen ist Prozentrechnen mit eigenen Namen. In dieser Lektion lernst du sie kennen und übst danach alles aus dieser Reihe gemischt.

Erklärung

Zinsen sind Prozentwerte

Prozentrechnen	Zinsrechnen	Zeichen
Grundwert	Kapital (Guthaben oder Schuld)	$K$
Prozentsatz	Zinssatz pro Jahr	$p\,\%$
Prozentwert	Jahreszins	$Z$

Für ein ganzes Jahr gilt deshalb:

$Z = K \cdot \frac{p}{100}$

Zins für einige Monate

Liegt das Geld nur einen Teil des Jahres auf dem Konto, gibt es nur einen Teil des Jahreszinses. In der Schweiz nennt man das auch Marchzins. Für $m$ Monate gilt:

$Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{m}{12}$

Wer bekommt den Zins?

• Wer Geld auf der Bank hat, bekommt Zins. Die Bank darf mit dem Geld arbeiten.
• Wer Geld ausleiht, bezahlt Zins. Das ist der Preis dafür, dass man das Geld früher zur Verfügung hat.

Beispiele

Beispiel 1: Sparkonto. $Z = 2500 \cdot 0.0125 = 31.25$. Sara bekommt nach einem Jahr 31.25 Fr. Zins.

Beispiel 2: Kleinkredit für 8 Monate.

6'000 Fr. · 0.095 · $\frac{8}{12}$ = 380 Fr. Ihr Bruder bezahlt 380 Fr. Zins. Insgesamt zahlt er 6'380 Fr. zurück.

Beispiel 3: Zinssatz gesucht. Auf 3'200 Fr. gab es nach einem Jahr 24 Fr. Zins.

24 : 3'200 = 0.0075 = 0.75 %.

Typische Fehler in der Prozentrechnung

Fehler	Beispiel	Richtig
falscher Grundwert	„Von 100 Fr. auf 80 Fr. sind −20 %, also von 80 Fr. auf 100 Fr. auch 20 %.“	20 : 80 = 0.25, also +25 %
Prozente addiert statt Faktoren multipliziert	„+10 % und +10 % sind +20 %.“	1.1 · 1.1 = 1.21, also +21 %
MWST rückwärts abgezogen	8.1 % vom Preis inkl. MWST abziehen	durch 1.081 dividieren
Prozentpunkte und Prozent verwechselt	Zins steigt von 1 % auf 2 %: „1 % mehr“	1 Prozentpunkt mehr, der Zins verdoppelt sich
Dezimalpunkt falsch gesetzt	4 % als 0.4	4 % = 0.04

Mache vor jeder Rechnung einen Überschlag. Dann fallen viele dieser Fehler sofort auf.

Merksatz

Jahreszins: $Z = K \cdot \frac{p}{100}$. Für $m$ Monate kommt der Faktor $\frac{m}{12}$ dazu. Bei jeder Prozentaufgabe fragst du zuerst: Was ist das Ganze, also 100 %?

Übungen

Grundlagen

1. Berechne den Jahreszins: a) 1'800 Fr. zu 1.5 %, b) 12'000 Fr. zu 0.75 %.
2. Auf einem Konto liegen 4'000 Fr. zu 2 %. Wie viel Zins gibt es nach 9 Monaten?
3. Ein Konto bringt bei 1.5 % Zins nach einem Jahr 45 Fr. Wie gross ist das Guthaben?

Weiter

4. Ein Velo kostete 1'250 Fr. Im Ausverkauf gibt es 18 % Rabatt. Wie viel kostet es jetzt?
5. Aylin hat 42 von 56 Punkten, Ben hat in einer anderen Prüfung 37 von 48 Punkten. Wer hat den höheren Anteil erreicht?
6. Ein Preis von 80 Fr. steigt um 25 % und sinkt danach um 25 %. Lia sagt: „Jetzt kostet es wieder 80 Fr.“ Prüfe die Aussage.

Knobeln

7. Daniel legt 5'000 Fr. zu 2 % an. Die Zinsen bleiben jedes Jahr auf dem Konto und werden im nächsten Jahr mitverzinst. Wie gross ist das Guthaben nach 3 Jahren?
8. Eine Hose kostet nach 20 % Rabatt und mit 8.1 % MWST 86.48 Fr. Wie hoch war der Preis ohne Rabatt und ohne Steuer?

Lösungen

1. a) 1'800 Fr. · 0.015 = 27 Fr. b) 12'000 Fr. · 0.0075 = 90 Fr.
2. 4'000 Fr. · 0.02 · $\frac{9}{12}$ = 60 Fr.
3. 45 Fr. : 0.015 = 3'000 Fr.
4. 1'250 Fr. · 0.82 = 1'025 Fr.
5. Aylin: 42 : 56 = 0.75 = 75 %. Ben: 37 : 48 ≈ 0.771, also etwa 77.1 %. Ben hat den höheren Anteil.
6. Die Aussage stimmt nicht. 80 Fr. · 1.25 = 100 Fr. Danach 100 Fr. · 0.75 = 75 Fr. Die Senkung bezieht sich auf den grösseren Wert 100 Fr. Insgesamt: 1.25 · 0.75 = 0.9375.
7. 5'000 Fr. · 1.02 · 1.02 · 1.02 = 5'000 Fr. · 1.061208 = 5'306.04 Fr. Das ist mehr als 5'000 Fr. + 3 · 100 Fr. = 5'300 Fr., weil auch die Zinsen Zins bringen.
8. Beide Änderungen sind Faktoren: 0.8 · 1.081 = 0.8648. Preis vorher: 86.48 Fr. : 0.8648 = 100 Fr.