Prozentsatz berechnen und Grundwert berechnen

Einstieg

Mira bekommt ihre Mathematikprüfung zurück: 27 von 36 Punkten. Ihre Freundin Jana hatte in einer anderen Prüfung 31 von 40 Punkten. Wer hat besser abgeschnitten?

Und noch eine Frage: Ein Sportgeschäft schreibt „30 % Rabatt, Sie sparen 54 Fr.“ Was hat der Artikel vorher gekostet?

In der ersten Frage suchst du den Prozentsatz, in der zweiten den Grundwert. Beides lernst du in dieser Lektion.

Erklärung

Prozentsatz gesucht

Du kennst den Prozentwert $P$ (den Teil) und den Grundwert $G$ (das Ganze). Der Prozentsatz ist der Anteil, in Prozent geschrieben:

$p\,\% = \frac{P}{G}$

Du dividierst also Teil durch Ganzes und schreibst das Ergebnis in Prozent.

Grundwert gesucht

Du kennst den Prozentwert $P$ und den Prozentsatz $p\,\%$. Gesucht ist das Ganze. Mit dem Dreisatz rechnest du zuerst auf 1 % und dann auf 100 % hoch.

Mit dem Faktor geht es kürzer: Weil $P = G \cdot \frac{p}{100}$ ist, gilt umgekehrt

$G = P : \frac{p}{100}$

Du dividierst den Prozentwert durch den Prozentsatz als Dezimalzahl.

Welche Grösse ist gesucht?

Lies die Aufgabe genau und ordne zu:

• Was ist das Ganze (100 %)? Das ist der Grundwert.
• Steht eine Zahl mit %-Zeichen da? Das ist der Prozentsatz.
• Der Teil, der zu diesem Prozentsatz gehört, ist der Prozentwert.

Ein Überschlag zum Schluss hilft: Ist der Prozentsatz kleiner als 100 %, muss der Grundwert grösser sein als der Prozentwert.

Beispiele

Beispiel 1: Prüfungen vergleichen.

• Mira: 27 : 36 = 0.75 = 75 %.
• Jana: 31 : 40 = 0.775 = 77.5 %.

Jana hat den höheren Anteil der Punkte erreicht.

Beispiel 2: Verspätete Züge. An einem Bahnhof fahren an einem Tag 240 Züge ab. 18 davon haben mehr als drei Minuten Verspätung. Wie viel Prozent sind das?

18 : 240 = 0.075 = 7.5 %.

Beispiel 3: Grundwert mit dem Dreisatz. 30 % Rabatt sind 54 Fr. Wie viel kostete der Artikel?

Prozent	Betrag
30 %	54 Fr.
1 %	54 Fr. : 30 = 1.80 Fr.
100 %	1.80 Fr. · 100 = 180 Fr.

Mit dem Faktor: 54 Fr. : 0.3 = 180 Fr. Der Artikel kostete 180 Fr.

Beispiel 4: Skilager. Im Skilager fahren 14 Kinder Snowboard. Das sind 35 % aller Teilnehmenden. Wie viele sind im Lager?

14 : 0.35 = 40. Im Lager sind 40 Kinder. Überschlag: 35 % ist etwa ein Drittel, und dreimal 14 sind 42. Das passt.

Merksatz

Prozentsatz gesucht: Teil durch Ganzes, $p\,\% = \frac{P}{G}$. Grundwert gesucht: Prozentwert durch den Prozentsatz als Dezimalzahl, $G = P : \frac{p}{100}$. Bestimme zuerst, was das Ganze ist.

Übungen

Grundlagen

1. Wie viel Prozent sind es? a) 9 von 60, b) 42 von 56, c) 1.5 kg von 12 kg.
2. Berechne den Grundwert: a) 25 % sind 60, b) 8 % sind 36 Fr., c) 120 % sind 84.
3. Ein Grundstück ist 2'400 m² gross, 600 m² davon sind Garten. Wie viel Prozent der Fläche sind Garten?

Weiter

4. Auf einer Wanderung von 12 km hat die Klasse nach dem Mittag 9.6 km geschafft. Wie viel Prozent der Strecke sind das?
5. In einem Schulhaus haben 68 Lernende ein Generalabonnement. Das sind 17 % aller Lernenden. Wie viele Lernende gehen in dieses Schulhaus?
6. Elena verdient im ersten Lehrjahr 1'050 Fr. im Monat. Sie spart davon 147 Fr. Wie viel Prozent ihres Lohns spart sie?

Knobeln

7. Bei einem Rechteck sind 40 % der Fläche 18 cm². Das Rechteck ist 5 cm breit. Wie lang ist es?
8. Tim hat in einer Prüfung 13 von 20 Punkten. Er sagt: „Das sind 13 %.“ Erkläre seinen Fehler und gib das richtige Ergebnis an.

Lösungen

1. a) 9 : 60 = 0.15 = 15 %, b) 42 : 56 = 0.75 = 75 %, c) 1.5 : 12 = 0.125 = 12.5 %.
2. a) 60 : 0.25 = 240, b) 36 Fr. : 0.08 = 450 Fr., c) 84 : 1.2 = 70.
3. 600 : 2'400 = 0.25 = 25 %.
4. 9.6 : 12 = 0.8 = 80 %.
5. 68 : 0.17 = 400 Lernende.
6. 147 : 1'050 = 0.14 = 14 %.
7. Ganze Fläche: 18 cm² : 0.4 = 45 cm². Länge: 45 cm² : 5 cm = 9 cm.
8. Tim hat die Punktzahl direkt als Prozentsatz genommen. Prozent bedeutet aber Anteil von 100. Richtig ist 13 : 20 = 0.65 = 65 %. Nur wenn die Prüfung 100 Punkte hätte, wären 13 Punkte auch 13 %.