Prozentwert berechnen mit Dreisatz und Faktor

Einstieg

Deine Klasse plant ein Klassenlager in Graubünden. Das Budget beträgt 2'400 Fr. Die Lehrperson sagt: „35 % davon brauchen wir für das Essen.“ Wie viele Franken sind das?

Hier kennst du das Ganze und den Prozentsatz. Gesucht ist der Betrag, der zu den 35 % gehört.

Erklärung

Drei Fachbegriffe

In jeder Prozentaufgabe kommen drei Grössen vor:

Begriff	Bedeutung	Im Beispiel
Grundwert $G$	das Ganze, entspricht 100 %	2'400 Fr.
Prozentsatz $p\,\%$	der Anteil in Prozent	35 %
Prozentwert $P$	der Teil, der zum Prozentsatz gehört	gesucht

In dieser Lektion ist immer der Prozentwert gesucht. Dafür gibt es zwei Wege.

Weg 1: Dreisatz über 1 %

Du rechnest zuerst aus, wie viel 1 % ist, und dann, wie viel der gesuchte Prozentsatz ist.

Prozent	Betrag
100 %	2'400 Fr.
1 %	2'400 Fr. : 100 = 24 Fr.
35 %	24 Fr. · 35 = 840 Fr.

Der Dreisatz zeigt gut, was passiert. Er ist aber etwas länger.

Weg 2: mit dem Faktor

35 % sind 0.35. Den Prozentwert erhältst du, wenn du den Grundwert mit dieser Dezimalzahl multiplizierst:

$P = G \cdot \frac{p}{100}$

0.35 · 2'400 Fr. = 840 Fr.

Dieser Weg ist kurz und eignet sich für den Rechner.

Kopfrechnen mit 10 %, 5 % und 1 %

Viele Prozentwerte kannst du im Kopf aus Bausteinen zusammensetzen:

• 10 % ist ein Zehntel: Dezimalpunkt um eine Stelle nach links.
• 5 % ist die Hälfte von 10 %.
• 1 % ist ein Hundertstel: Dezimalpunkt um zwei Stellen nach links.

Beispiele

Beispiel 1: Lagerbudget. 35 % von 2'400 Fr. sind 840 Fr. (siehe oben). Für das Essen stehen 840 Fr. zur Verfügung.

Beispiel 2: Handyakku. Ein Akku hat eine Kapazität von 4'500 mAh. Die Anzeige steht auf 64 %. Wie viel Ladung ist noch vorhanden?

0.64 · 4'500 mAh = 2'880 mAh.

Beispiel 3: Kopfrechnen. Wie viel sind 15 % von 68 Fr.?

• 10 % von 68 Fr. = 6.80 Fr.
• 5 % von 68 Fr. = 3.40 Fr. (die Hälfte von 10 %)
• 15 % = 6.80 Fr. + 3.40 Fr. = 10.20 Fr.

Kontrolle mit dem Faktor: 0.15 · 68 Fr. = 10.20 Fr.

Beispiel 4: Mehr als 100 %. Ein Verein hatte letztes Jahr 42 Mitglieder. Dieses Jahr sind es 150 % davon. Wie viele Mitglieder hat er jetzt?

1.5 · 42 = 63 Mitglieder. Über 100 % heisst: mehr als das Ganze.

Merksatz

Prozentwert = Grundwert mal Prozentsatz als Dezimalzahl: $P = G \cdot \frac{p}{100}$. Beispiel: 35 % von 2'400 Fr. sind 0.35 · 2'400 Fr. = 840 Fr. Im Kopf setzt du Prozentwerte aus 10 %, 5 % und 1 % zusammen.

Übungen

Grundlagen

1. Berechne: a) 20 % von 85, b) 3 % von 600, c) 12.5 % von 96, d) 150 % von 42.
2. Rechne im Kopf mit 10 %, 5 % und 1 %: a) 15 % von 240, b) 11 % von 70, c) 35 % von 3'000.
3. Von den 380 Lernenden der Sekundarschule Rheinfelden kommen 45 % mit dem Bus. Wie viele sind das?

Weiter

4. Eine Gemeinde hat 6'250 Einwohnerinnen und Einwohner. 22.4 % sind jünger als 20 Jahre. Wie viele Personen sind das?
5. Ein Müesli enthält 18 % Zucker. Wie viel Zucker steckt in einer Portion von 45 g?
6. Ein E-Bike kostet 960 Fr. Lars zahlt 15 % sofort an. Den Rest zahlt er in 6 gleichen Monatsraten. Wie hoch sind die Anzahlung und eine Rate?

Knobeln

7. Was ist mehr: 30 % von 70 oder 70 % von 30? Begründe ohne beide Werte auszurechnen. Rechne danach zur Kontrolle.
8. Wie viel sind 20 % von 20 % von 500? Wie viel Prozent von 500 sind das?

Lösungen

1. a) 0.2 · 85 = 17, b) 0.03 · 600 = 18, c) 0.125 · 96 = 12, d) 1.5 · 42 = 63.
2. a) 10 % = 24, 5 % = 12, also 15 % = 36. b) 10 % = 7, 1 % = 0.7, also 11 % = 7.7. c) 10 % = 300, 30 % = 900, 5 % = 150, also 35 % = 1'050.
3. 0.45 · 380 = 171 Lernende.
4. 0.224 · 6'250 = 1'400 Personen.
5. 0.18 · 45 g = 8.1 g Zucker.
6. Anzahlung: 0.15 · 960 Fr. = 144 Fr. Rest: 960 Fr. − 144 Fr. = 816 Fr. Rate: 816 Fr. : 6 = 136 Fr.
7. Beide sind gleich gross. 30 % von 70 ist $\frac{30}{100} \cdot 70 = \frac{30 \cdot 70}{100}$, und 70 % von 30 ist $\frac{70 \cdot 30}{100}$. Die Faktoren darf man vertauschen. Kontrolle: 0.3 · 70 = 21 und 0.7 · 30 = 21.
8. 20 % von 500 sind 100. 20 % von 100 sind 20. Das sind 20 : 500 = 0.04 = 4 % von 500, denn 0.2 · 0.2 = 0.04.