Prozente verstehen: Anteile vergleichen und überschlagen

Einstieg

In der Klasse 1a kommen 9 von 25 Schülerinnen und Schülern mit dem Velo zur Schule. In der Klasse 1b sind es 10 von 30. In der 1b fahren also mehr Kinder Velo. Aber ist der Anteil dort auch grösser?

Die Klassen sind verschieden gross, deshalb kannst du die Anzahlen nicht direkt vergleichen. Du brauchst ein gemeinsames Mass. Dieses Mass sind Prozente.

Erklärung

Was ein Prozent ist

„Prozent“ heisst „von Hundert“. Das Zeichen ist %.

$1\,\% = \frac{1}{100} = 0.01$

Ein Prozent ist also ein Hundertstel. 25 % bedeutet 25 Hundertstel, also $\frac{25}{100} = 0.25$. Das Ganze sind immer 100 %.

Bruch, Dezimalzahl und Prozent

Ein Anteil lässt sich auf drei Arten schreiben. Alle drei bedeuten dasselbe:

Bruch	Dezimalzahl	Prozent
$\frac{1}{2}$	0.5	50 %
$\frac{1}{4}$	0.25	25 %
$\frac{3}{4}$	0.75	75 %
$\frac{1}{5}$	0.2	20 %
$\frac{1}{10}$	0.1	10 %
$\frac{1}{8}$	0.125	12.5 %
$\frac{1}{3}$	0.333…	etwa 33.3 %

So wandelst du um:

• Dezimalzahl in Prozent: mit 100 multiplizieren. 0.36 wird zu 36 %.
• Prozent in Dezimalzahl: durch 100 dividieren. 7 % wird zu 0.07.
• Bruch in Prozent: Zähler durch Nenner dividieren, dann mal 100. $\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0.375 = 37.5\,\%$.

Einen Anteil berechnen

Der Anteil ist Teil durch Ganzes:

$\text{Anteil} = \frac{\text{Teil}}{\text{Ganzes}}$

Das Ergebnis schreibst du als Dezimalzahl und dann in Prozent.

Überschlagen

Bevor du rechnest, lohnt sich ein Überschlag. Du rundest auf Zahlen, mit denen du im Kopf rechnen kannst, und nimmst einen bekannten Bruch zu Hilfe. So erkennst du später, ob dein Ergebnis aus dem Rechner stimmen kann.

Beispiele

Beispiel 1: Velo in zwei Klassen.

• Klasse 1a: 9 von 25. $\frac{9}{25} = 9 : 25 = 0.36 = 36\,\%$.
• Klasse 1b: 10 von 30. $\frac{10}{30} = 0.333… \approx 33.3\,\%$.

In der 1a ist der Anteil grösser, obwohl dort weniger Kinder Velo fahren.

Beispiel 2: Stimmbeteiligung. In einer Gemeinde dürfen 2'800 Personen abstimmen. 1'260 legen ihre Stimme ein. Wie hoch ist die Stimmbeteiligung?

Überschlag: 1'260 ist etwas weniger als die Hälfte von 2'800, also knapp unter 50 %.

Rechnung: 1'260 : 2'800 = 0.45 = 45 %. Das passt zum Überschlag.

Beispiel 3: Überschlag mit einem bekannten Bruch. Von 610 Lernenden einer Sekundarschule essen 198 über Mittag in der Schule.

198 ist ungefähr 200, und 610 ist ungefähr 600. $\frac{200}{600} = \frac{1}{3}$, also etwa 33 %. Mit dem Rechner: 198 : 610 ≈ 0.3246, also etwa 32.5 %.

Beispiel 4: Prozent überschlagen. Wie viel sind 45 % von 1'980 Fr. ungefähr?

45 % ist etwas weniger als die Hälfte. Die Hälfte von 2'000 Fr. sind 1'000 Fr. Das Ergebnis liegt also etwas unter 1'000 Fr. (genau sind es 891 Fr.).

Merksatz

Prozent heisst Hundertstel: $1\,\% = \frac{1}{100} = 0.01$. Einen Anteil berechnest du als Teil durch Ganzes und schreibst ihn in Prozent, indem du mit 100 multiplizierst. Prozente machen Anteile vergleichbar, auch wenn das Ganze verschieden gross ist.

Übungen

Grundlagen

1. Schreibe in Prozent: a) 0.07, b) 0.4, c) $\frac{3}{20}$, d) $\frac{7}{8}$.
2. Schreibe als Dezimalzahl und als gekürzten Bruch: a) 35 %, b) 2 %, c) 120 %.
3. Wie viel Prozent sind es? a) 12 von 48, b) 18 von 24, c) 7 von 35.

Weiter

4. Überschlage zuerst, dann rechne mit dem Rechner: a) Welcher Anteil sind 152 von 297? b) Wie viel sind 24 % von 4'010 Fr.? c) Wie viel sind 9.8 % von 61?
5. Der FC Seefeld gewinnt 14 von 20 Spielen, der FC Bergli 17 von 25. Welcher Club hat den grösseren Anteil an Siegen?
6. An einer Gemeindeversammlung sind 168 von 1'400 Stimmberechtigten anwesend. Wie viel Prozent sind das?

Knobeln

7. Kann ein Anteil mehr als 100 % betragen? Erkläre mit einem Beispiel.
8. Lena sagt: „Ein Drittel sind 33 %.“ Stimmt das genau? Begründe.

Lösungen

1. a) 7 %, b) 40 %, c) $\frac{3}{20} = 0.15 = 15\,\%$, d) $\frac{7}{8} = 0.875 = 87.5\,\%$.
2. a) $0.35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$, b) $0.02 = \frac{2}{100} = \frac{1}{50}$, c) $1.2 = \frac{120}{100} = \frac{6}{5}$.
3. a) 12 : 48 = 0.25 = 25 %, b) 18 : 24 = 0.75 = 75 %, c) 7 : 35 = 0.2 = 20 %.
4. a) Überschlag: 150 von 300 ist die Hälfte, also etwa 50 %. Rechner: 152 : 297 ≈ 0.512, also etwa 51.2 %. b) Überschlag: 24 % ist knapp ein Viertel, ein Viertel von 4'000 Fr. sind 1'000 Fr. Rechner: 0.24 · 4'010 = 962.40 Fr. c) Überschlag: 10 % von 60 sind 6. Rechner: 0.098 · 61 ≈ 5.98.
5. FC Seefeld: 14 : 20 = 0.7 = 70 %. FC Bergli: 17 : 25 = 0.68 = 68 %. Der FC Seefeld hat den grösseren Anteil, obwohl er weniger Spiele gewonnen hat.
6. 168 : 1'400 = 0.12 = 12 %.
7. Ja, wenn der Teil grösser ist als das Ganze, mit dem man vergleicht. Beispiel: Letztes Jahr waren 25 Lernende im Chor, dieses Jahr sind es 30. Dann sind es 30 : 25 = 1.2 = 120 % der Zahl vom letzten Jahr.
8. Nicht genau. $\frac{1}{3} = 1 : 3 = 0.333…$, das sind $33.3…\,\%$ oder $33\frac{1}{3}\,\%$. 33 % ist ein gerundeter Wert und etwas zu klein.