Rabatt und Aufschlag berechnen mit dem Faktor

Einstieg

Im Ausverkauf hängt an einem Snowboard ein Schild: „480 Fr., jetzt 25 % günstiger“. Ein Konzertbillett kostet im Vorverkauf 64 Fr., an der Abendkasse 15 % mehr. In beiden Fällen ändert sich ein Preis um einen Prozentsatz.

Du könntest zuerst den Rabatt oder den Aufschlag ausrechnen und dann abziehen oder addieren. Es geht aber in einem Schritt.

Erklärung

Der veränderte Grundwert

Der alte Preis ist der Grundwert, also 100 %.

• Bei 25 % Rabatt bleiben 100 % − 25 % = 75 % übrig. Der neue Preis ist 75 % des alten.
• Bei 15 % Aufschlag kommen zu den 100 % noch 15 % dazu. Der neue Preis ist 115 % des alten.

Der Änderungsfaktor

Den neuen Preis erhältst du, wenn du den alten mit einem Faktor multiplizierst:

Änderung	Faktor	Beispiel
Abnahme um $p\,\%$	$1 - \frac{p}{100}$	−25 % ergibt 0.75
Zunahme um $p\,\%$	$1 + \frac{p}{100}$	+15 % ergibt 1.15

$\text{neuer Wert} = \text{alter Wert} \cdot \text{Faktor}$

Ein Faktor kleiner als 1 verkleinert, ein Faktor grösser als 1 vergrössert.

Rückwärts rechnen

Kennst du den neuen Wert und die Änderung, findest du den alten Wert durch Division:

$\text{alter Wert} = \text{neuer Wert} : \text{Faktor}$

Die prozentuale Veränderung

Wie stark hat sich ein Wert verändert? Du teilst die Differenz durch den alten Wert:

$\text{Veränderung} = \frac{\text{neu} - \text{alt}}{\text{alt}}$

Ein positives Ergebnis ist eine Zunahme, ein negatives eine Abnahme.

Beispiele

Beispiel 1: Snowboard. 480 Fr. · 0.75 = 360 Fr. Du sparst 120 Fr.

Beispiel 2: Abendkasse. 64 Fr. · 1.15 = 73.60 Fr.

Beispiel 3: Alter Preis gesucht. Eine Jacke kostet nach 30 % Rabatt noch 104.30 Fr. Wie teuer war sie vorher?

Faktor: 1 − 0.3 = 0.7. Alter Preis: 104.30 Fr. : 0.7 = 149 Fr.

Achtung: 30 % von 104.30 Fr. zu addieren wäre falsch. Die 30 % beziehen sich auf den alten Preis, nicht auf den neuen.

Beispiel 4: Mitglieder im Turnverein. Der Verein wächst von 80 auf 92 Mitglieder.

$\frac{92 - 80}{80} = \frac{12}{80} = 0.15$. Das ist eine Zunahme um 15 %.

Beispiel 5: Zweimal ändern. Ein Preis von 100 Fr. sinkt um 20 % und steigt danach um 20 %.

100 Fr. · 0.8 = 80 Fr. Danach 80 Fr. · 1.2 = 96 Fr. Der Preis ist nicht wieder bei 100 Fr., weil sich die zweite Änderung auf den kleineren Wert 80 Fr. bezieht. Insgesamt: 0.8 · 1.2 = 0.96, also 4 % weniger.

Merksatz

Neuer Wert = alter Wert · Faktor. Bei einer Abnahme um $p\,\%$ ist der Faktor $1 - \frac{p}{100}$, bei einer Zunahme $1 + \frac{p}{100}$. Den alten Wert findest du mit neuer Wert : Faktor. Mehrere Änderungen nacheinander: Faktoren multiplizieren, nicht Prozente addieren.

Übungen

Grundlagen

1. Berechne den neuen Preis: a) 250 Fr., 20 % Rabatt, b) 79 Fr., 15 % Rabatt, c) 1'200 Fr., 5 % Aufschlag.
2. Gib den Faktor an: a) +12 %, b) −7 %, c) −0.5 %, d) +100 %.
3. Um wie viel Prozent hat sich der Wert verändert? a) von 50 auf 60, b) von 80 auf 68, c) von 2.50 Fr. auf 2.80 Fr.

Weiter

4. Ein Velohelm kostet nach 20 % Rabatt noch 71.20 Fr. Wie viel kostete er vorher?
5. Ein Preis steigt zuerst um 10 % und ein Jahr später nochmals um 10 %. Um wie viel Prozent ist er insgesamt gestiegen?
6. Ein Kleidergeschäft gibt 30 % Rabatt. An der Kasse gibt es auf den reduzierten Preis nochmals 10 %. Noah sagt: „Das sind zusammen 40 %.“ Stimmt das?

Knobeln

7. Ein Preis sinkt um 20 %. Um wie viel Prozent muss er danach steigen, damit er wieder gleich hoch ist wie vorher?
8. Eine Gemeinde hat 4'800 Einwohnerinnen und Einwohner. Die Zahl wächst zwei Jahre lang jedes Jahr um 3 %. Wie viele Personen wohnen danach in der Gemeinde?

Lösungen

1. a) 250 Fr. · 0.8 = 200 Fr., b) 79 Fr. · 0.85 = 67.15 Fr., c) 1'200 Fr. · 1.05 = 1'260 Fr.
2. a) 1.12, b) 0.93, c) 0.995, d) 2.
3. a) $\frac{60 - 50}{50} = 0.2$, Zunahme um 20 %. b) $\frac{68 - 80}{80} = -0.15$, Abnahme um 15 %. c) $\frac{2.80 - 2.50}{2.50} = \frac{0.30}{2.50} = 0.12$, Zunahme um 12 %.
4. 71.20 Fr. : 0.8 = 89 Fr.
5. 1.1 · 1.1 = 1.21. Der Preis ist insgesamt um 21 % gestiegen, nicht um 20 %.
6. Nein. 0.7 · 0.9 = 0.63. Man bezahlt 63 % des alten Preises, der Rabatt beträgt also 37 %. Die zweiten 10 % beziehen sich auf den bereits reduzierten Preis.
7. Nach der Senkung ist der Preis 0.8 des alten. Damit er wieder 1 wird, braucht es den Faktor 1 : 0.8 = 1.25. Er muss also um 25 % steigen.
8. 4'800 · 1.03 · 1.03 = 4'800 · 1.0609 = 5'092.32. Es wohnen danach etwa 5'092 Personen in der Gemeinde.