Brüche vergleichen und ordnen

Einstieg

Beim Sportfest der Klassen 6a und 6b wird gefragt: Welche Klasse war besser dabei? Aus der 6a sind 18 von 24 Kindern gekommen, aus der 6b 20 von 28 Kindern. Die 6b hatte mehr Kinder dort. Aber die 6b ist auch größer. Um fair zu vergleichen, brauchst du die Anteile $\frac{18}{24}$ und $\frac{20}{28}$. Doch welcher Bruch ist größer? Darum geht es in dieser Lektion.

Erklärung

Fall 1: gleiche Nenner

Haben zwei Brüche denselben Nenner, sind die Teile gleich groß. Dann gewinnt der Bruch mit mehr Teilen, also mit dem größeren Zähler.

$\frac{5}{8} > \frac{3}{8}$

Fall 2: gleiche Zähler

Haben zwei Brüche denselben Zähler, hast du gleich viele Teile. Dann gewinnt der Bruch mit den größeren Teilen. Größere Teile entstehen, wenn du in weniger Teile teilst. Darum gilt:

$\frac{1}{6} > \frac{1}{8} \qquad \frac{3}{5} > \frac{3}{7}$

Viele denken zuerst: „8 ist größer als 6, also ist $\frac{1}{8}$ größer.“ Stell dir eine Pizza für 6 und eine für 8 Personen vor. Wo bekommst du das größere Stück?

Fall 3: Zähler und Nenner verschieden

Bringe beide Brüche durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner. Dann bist du wieder in Fall 1. Am kleinsten wird die Rechnung mit dem Hauptnenner, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der beiden Nenner.

So findest du den Hauptnenner von 4 und 6: Vielfache von 6 sind 6, 12, 18, … Die erste Zahl darin, die auch durch 4 teilbar ist, ist 12.

Fall 4: Vergleich mit einer Stützstelle

Manchmal geht es ohne Rechnen. Vergleiche beide Brüche mit $\frac{1}{2}$ oder mit 1:

• $\frac{4}{9}$ ist kleiner als $\frac{1}{2}$, denn die Hälfte von 9 ist 4,5.
• $\frac{6}{11}$ ist größer als $\frac{1}{2}$, denn die Hälfte von 11 ist 5,5.
• Also ist $\frac{4}{9} < \frac{6}{11}$.

Brüche auf dem Zahlenstrahl

Auf dem Zahlenstrahl liegt der kleinere Bruch weiter links. Um $\frac{3}{4}$ einzutragen, teilst du die Strecke von 0 bis 1 in 4 gleich lange Stücke und gehst 3 davon nach rechts. Gemischte Zahlen wie $1\frac{1}{2}$ liegen zwischen 1 und 2. Auf demselben Punkt liegen alle gleichwertigen Brüche: $\frac{3}{4}$, $\frac{6}{8}$ und $0{,}75$.

Beispiele

Beispiel 1: Hauptnenner. Vergleiche $\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{5}$.

Hauptnenner von 3 und 5 ist 15. $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$ und $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$. Da $10 > 9$, gilt $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$.

Beispiel 2: Ordnen. Ordne der Größe nach: $\frac{5}{6}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{2}{3}$.

Hauptnenner ist 12: $\frac{10}{12}$, $\frac{9}{12}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{8}{12}$. Aufsteigend: $\frac{7}{12} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}$.

Beispiel 3: Das Sportfest. $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (gekürzt durch 6). $\frac{20}{28} = \frac{5}{7}$ (gekürzt durch 4). Hauptnenner von 4 und 7 ist 28: $\frac{3}{4} = \frac{21}{28}$, $\frac{5}{7} = \frac{20}{28}$. Die 6a hatte den größeren Anteil, obwohl aus der 6b mehr Kinder kamen.

Merksatz

Bei gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer. Bei gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer. Sonst bringst du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, am besten den Hauptnenner.

Übungen

Grundlagen

1. Setze $<$, $>$ oder $=$ ein: a) $\frac{3}{7} \;\square\; \frac{5}{7}$, b) $\frac{2}{5} \;\square\; \frac{2}{9}$, c) $\frac{4}{6} \;\square\; \frac{6}{9}$.
2. Vergleiche mit dem Hauptnenner: a) $\frac{3}{4}$ und $\frac{7}{10}$, b) $\frac{5}{6}$ und $\frac{7}{8}$.
3. Ordne aufsteigend: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{12}$, $\frac{2}{3}$.

Weiter

4. Lara sagt: „$\frac{1}{8}$ ist größer als $\frac{1}{6}$, weil 8 größer ist als 6.“ Erkläre ihr mit einem Bild, warum das falsch ist.
5. Vergleiche $\frac{7}{15}$ und $\frac{9}{16}$, ohne einen gemeinsamen Nenner zu bilden.
6. Zeichne einen Zahlenstrahl von 0 bis 2 mit 12 cm für eine Einheit. Trage ein: $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{6}$, $1\frac{1}{2}$, $\frac{7}{4}$.

Knobeln

7. Welche natürlichen Zahlen kannst du für $\square$ einsetzen, damit $\frac{1}{3} < \frac{\square}{12} < \frac{3}{4}$ gilt?
8. Finde den Bruch, der auf dem Zahlenstrahl genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{3}$ liegt.

Lösungen

1. a) $\frac{3}{7} < \frac{5}{7}$ (gleicher Nenner). b) $\frac{2}{5} > \frac{2}{9}$ (gleicher Zähler, Fünftel sind größer als Neuntel). c) $\frac{4}{6} = \frac{6}{9}$, beide sind $\frac{2}{3}$.
2. a) Hauptnenner 20: $\frac{15}{20} > \frac{14}{20}$, also $\frac{3}{4} > \frac{7}{10}$. b) Hauptnenner 24: $\frac{20}{24} < \frac{21}{24}$, also $\frac{5}{6} < \frac{7}{8}$.
3. Hauptnenner 24: $\frac{12}{24}$, $\frac{9}{24}$, $\frac{10}{24}$, $\frac{16}{24}$. Aufsteigend: $\frac{3}{8} < \frac{5}{12} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3}$.
4. Zwei gleich große Kreise: Einer wird in 8 Teile, einer in 6 Teile geteilt. Je mehr Teile, desto kleiner ist jedes einzelne Teil. Darum ist $\frac{1}{8} < \frac{1}{6}$.
5. $\frac{7}{15} < \frac{1}{2}$, denn die Hälfte von 15 ist 7,5. $\frac{9}{16} > \frac{1}{2}$, denn die Hälfte von 16 ist 8. Also $\frac{7}{15} < \frac{9}{16}$.
6. Von 0 aus gemessen: $\frac{1}{4}$ bei 3 cm, $\frac{2}{3}$ bei 8 cm, $\frac{5}{6}$ bei 10 cm, $1\frac{1}{2}$ bei 18 cm, $\frac{7}{4}$ bei 21 cm. (12 cm passen gut, weil 12 durch 2, 3, 4 und 6 teilbar ist.)
7. $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ und $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$. Der Zähler muss echt zwischen 4 und 9 liegen: 5, 6, 7 oder 8.
8. $\frac{1}{4} = \frac{6}{24}$ und $\frac{1}{3} = \frac{8}{24}$. Genau in der Mitte liegt $\frac{7}{24}$.