Bruchrechnung: Sachaufgaben und typische Fehler

Einstieg

Du kannst jetzt mit Brüchen rechnen. Bei Textaufgaben ist die Rechnung aber oft das Leichteste. Schwieriger ist die Frage: Was muss ich überhaupt rechnen? In dieser Lektion übst du genau das. Außerdem siehst du die Fehler, die beim Bruchrechnen am häufigsten passieren, damit sie dir in der Arbeit nicht passieren.

Erklärung

Welche Rechenart passt?

Im Text steht …	Das heißt meistens …	Beispiel
„$\frac{2}{3}$ von …“	malnehmen	$\frac{2}{3}$ von 21 = $\frac{2}{3} \cdot 21 = 14$
„zusammen“, „insgesamt“, „mehr als“	addieren	$\frac{1}{4}$ h und $\frac{1}{2}$ h sind $\frac{3}{4}$ h
„übrig“, „Rest“, „weniger als“	subtrahieren, oft von 1	Rest nach $\frac{2}{5}$: $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
„wie oft passt …“, „wie viele Portionen“	dividieren	$2 : \frac{1}{4} = 8$
„$\frac{3}{8}$ sind 24, wie viel ist das Ganze?“	rückwärts: durch Zähler, mal Nenner	$24 : 3 \cdot 8 = 64$

So gehst du bei Sachaufgaben vor

1. Lesen und markieren: Was ist gegeben, was ist gesucht?
2. Skizze: Ein Streifen oder ein Rechteck für das Ganze hilft fast immer.
3. Rechnen: Schritt für Schritt, mit Zwischenergebnissen.
4. Prüfen: Ist das Ergebnis sinnvoll? Ein Teil kann nicht größer sein als das Ganze.
5. Antwortsatz mit Einheit.

Die häufigsten Fehler

Fehler	Falsch	Richtig
Nenner addiert	$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{3}{7}$	$\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$
Beim Malnehmen gleichnamig gemacht und Nenner behalten	$\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{4}$	$\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$
Kehrbruch vom falschen Bruch	$\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9}$	$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{2}$
Beim Teilen den Nenner geteilt	$\frac{5}{6} : 2 = \frac{5}{3}$	$\frac{5}{6} : 2 = \frac{5}{12}$
Ziffern „gekürzt“	$\frac{12}{24} = \frac{1}{4}$	$\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$
Größerer Nenner heißt größerer Bruch	$\frac{1}{8} > \frac{1}{6}$	$\frac{1}{8} < \frac{1}{6}$

Beispiele

Beispiel 1: Anteil vom Anteil. Von den 28 Kindern einer Klasse fahren $\frac{3}{4}$ mit auf die Klassenfahrt. Von diesen wollen $\frac{2}{3}$ ins Schwimmbad. Wie viele Kinder gehen ins Schwimmbad?

Weg A: $\frac{3}{4} \cdot 28 = 21$ Kinder fahren mit. $\frac{2}{3} \cdot 21 = 14$ Kinder gehen ins Schwimmbad.

Weg B: $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ der Klasse, also $\frac{1}{2} \cdot 28 = 14$.

Antwort: 14 Kinder gehen ins Schwimmbad.

Beispiel 2: Differenz von Anteilen. Ein Tank fasst 60 Liter. Vor der Fahrt ist er zu $\frac{3}{5}$ gefüllt, danach zu $\frac{1}{4}$. Wie viel Liter wurden verbraucht?

$\frac{3}{5} - \frac{1}{4} = \frac{12}{20} - \frac{5}{20} = \frac{7}{20}$ des Tanks. $\frac{7}{20} \cdot 60\,\ell = 21\,\ell$.

Probe: vorher $36\,\ell$, nachher $15\,\ell$, Differenz $21\,\ell$.

Merksatz

Bei Sachaufgaben zuerst überlegen, dann rechnen: „von“ heißt mal, „wie oft passt“ heißt geteilt, „Rest“ heißt meist 1 minus. Eine Skizze mit einem Streifen für das Ganze zeigt, ob dein Ergebnis Sinn ergibt.

Übungen

Grundlagen

1. Berechne und kürze: a) $\frac{3}{8} + \frac{1}{4}$, b) $\frac{7}{10} - \frac{2}{5}$, c) $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}$, d) $\frac{2}{3} : \frac{4}{9}$.
2. Finde den Fehler und rechne richtig: a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{3}{7}$, b) $\frac{5}{6} : 2 = \frac{10}{6}$.
3. Ein Rezept für 12 Kuchenstücke braucht $\frac{3}{4}$ kg Mehl. Wie viel Mehl brauchst du für 8 Stücke?

Weiter

4. Paul legt seinen Schulweg so zurück: $\frac{2}{5}$ mit dem Rad, $\frac{1}{3}$ zu Fuß und die restlichen 4 km mit dem Bus. Wie lang ist der ganze Weg? Wie viele Kilometer fährt er Rad?
5. Welcher Bruch liegt näher an 1: $\frac{7}{8}$ oder $\frac{8}{9}$? Begründe ohne Dezimalzahlen.
6. Eine Klasse sammelt für einen Ausflug. Nach einer Woche ist $\frac{3}{8}$ des Betrags zusammen, das sind 135 €. Wie viel Geld wird insgesamt gebraucht? Wie viel fehlt noch?

Knobeln

7. Ein Ball springt nach jedem Aufprall auf $\frac{2}{3}$ seiner vorherigen Höhe. Er wird aus 81 cm Höhe fallen gelassen. Wie hoch springt er nach dem dritten Aufprall?
8. Finde zwei Zahlen, deren Summe genauso groß ist wie ihr Produkt. Eine davon soll $\frac{3}{2}$ sein. (Tipp: Probiere zuerst mit ganzen Zahlen: $2 + 2 = 2 \cdot 2$.)

Lösungen

1. a) $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}$. b) $\frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3}{10}$. c) $\frac{12}{72} = \frac{1}{6}$. d) $\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
2. a) Nenner wurden addiert. Richtig: $\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$. b) Der Zähler wurde mit 2 multipliziert statt der Nenner. Das Ergebnis müsste kleiner als $\frac{5}{6}$ sein. Richtig: $\frac{5}{12}$.
3. 8 von 12 Stücken sind $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ des Rezepts. $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ kg Mehl.
4. Rad und zu Fuß: $\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$. Rest: $\frac{4}{15}$, das sind 4 km. $\frac{1}{15}$ ist 1 km, der ganze Weg 15 km. Mit dem Rad: $\frac{2}{5} \cdot 15 = 6$ km. (Zu Fuß 5 km, Probe: $6 + 5 + 4 = 15$.)
5. Bis 1 fehlen bei $\frac{7}{8}$ noch $\frac{1}{8}$, bei $\frac{8}{9}$ noch $\frac{1}{9}$. Da $\frac{1}{9} < \frac{1}{8}$, liegt $\frac{8}{9}$ näher an 1.
6. $\frac{1}{8}$ sind $135\,€ : 3 = 45\,€$, das Ganze $8 \cdot 45\,€ = 360\,€$. Es fehlen $\frac{5}{8}$, also $5 \cdot 45\,€ = 225\,€$.
7. $81 \cdot \frac{2}{3} = 54$ cm, $54 \cdot \frac{2}{3} = 36$ cm, $36 \cdot \frac{2}{3} = 24$ cm. Nach dem dritten Aufprall springt er 24 cm hoch.
8. Die zweite Zahl ist 3: $\frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2}$ und $\frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2}$. (Man findet sie durch Probieren oder über die Gleichung $\frac{3}{2} + x = \frac{3}{2} \cdot x$.)