Brüche addieren und subtrahieren

Einstieg

Für Pfannkuchen brauchst du $\frac{1}{2}$ Liter Milch und $\frac{1}{4}$ Liter Wasser. Passt beides zusammen in einen Messbecher, der bis $\frac{3}{4}$ Liter reicht? Mit Litern kannst du das im Kopf: Ein halber Liter sind zwei Viertel, dazu ein Viertel macht drei Viertel. Genau so funktioniert das Addieren von Brüchen allgemein.

Erklärung

Gleichnamige Brüche

Brüche mit gleichem Nenner heißen gleichnamig. Der Nenner ist wie eine Einheit: Achtel, Fünftel, Zwölftel. So wie 3 Äpfel und 2 Äpfel zusammen 5 Äpfel sind, sind 3 Achtel und 2 Achtel zusammen 5 Achtel.

$\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8} \qquad \frac{7}{9} - \frac{4}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Du addierst oder subtrahierst die Zähler. Der Nenner bleibt, weil sich die Art der Teile nicht ändert.

Ungleichnamige Brüche

Drittel und Viertel kannst du nicht direkt zusammenzählen, genauso wenig wie Meter und Zentimeter. Bringe die Brüche zuerst durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner, am besten den Hauptnenner. Dann rechnest du wie oben.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$

Kürze das Ergebnis am Ende, wenn es geht.

Der häufigste Fehler

Viele rechnen $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$, also Zähler plus Zähler und Nenner plus Nenner. Prüfe das mit Verstand: $\frac{2}{5}$ ist kleiner als $\frac{1}{2}$. Wenn du zu einer halben Pizza noch etwas dazulegst, kannst du nicht weniger als eine halbe Pizza haben. Richtig ist $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

Gemischte Zahlen

Bei gemischten Zahlen rechnest du Ganze und Bruchteile getrennt:

$2\tfrac{1}{4} + 1\tfrac{2}{4} = 3\tfrac{3}{4}$

Wird der Bruchteil größer als 1, wandelst du ihn um und gibst ein Ganzes dazu. Ist beim Subtrahieren der Bruchteil zu klein, tauschst du ein Ganzes in Bruchteile um. Du kannst gemischte Zahlen auch immer zuerst in unechte Brüche umwandeln.

Beispiele

Beispiel 1: Hauptnenner bilden. $\frac{5}{6} - \frac{3}{8}$

Hauptnenner von 6 und 8 ist 24. $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$ und $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$.

$\frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24}$. Das lässt sich nicht kürzen.

Beispiel 2: Gemischte Zahlen addieren. $2\frac{2}{3} + 1\frac{3}{4}$

Ganze: $2 + 1 = 3$. Brüche: $\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}$.

Zusammen: $3 + 1\frac{5}{12} = 4\frac{5}{12}$.

Beispiel 3: Subtrahieren mit Umtauschen. $3\frac{1}{4} - 1\frac{3}{4}$

$\frac{1}{4}$ ist kleiner als $\frac{3}{4}$. Tausche ein Ganzes in 4 Viertel: $3\frac{1}{4} = 2\frac{5}{4}$.

$2\frac{5}{4} - 1\frac{3}{4} = 1\frac{2}{4} = 1\frac{1}{2}$.

Anderer Weg: $\frac{13}{4} - \frac{7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Merksatz

Gleichnamige Brüche addierst oder subtrahierst du, indem du die Zähler addierst oder subtrahierst. Der Nenner bleibt. Ungleichnamige Brüche machst du vorher durch Erweitern gleichnamig. Nenner werden nie addiert.

Übungen

Grundlagen

1. a) $\frac{2}{7} + \frac{3}{7}$, b) $\frac{7}{9} - \frac{4}{9}$, c) $\frac{5}{12} + \frac{1}{12}$. Kürze, wenn möglich.
2. a) $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$, b) $\frac{3}{4} - \frac{2}{3}$, c) $\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$.
3. a) $1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4}$, b) $4 - \frac{2}{3}$.

Weiter

4. Mo rechnet $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$. Erkläre ohne Rechnung, warum das nicht stimmen kann. Rechne dann richtig.
5. Eine Wanderung hat zwei Abschnitte: $2\frac{3}{4}$ km und $1\frac{2}{3}$ km. Wie lang sind beide zusammen? Wie viel fehlt noch bis 6 km?
6. Rechne geschickt: $\frac{3}{8} + \frac{5}{7} + \frac{5}{8}$. Welches Rechengesetz nutzt du?

Knobeln

7. Die alten Ägypter schrieben Brüche als Summe verschiedener Stammbrüche. Schreibe so: a) $\frac{3}{4}$, b) $\frac{5}{6}$, c) $\frac{7}{12}$.
8. Berechne $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$. Wie viel fehlt bis 1? Was vermutest du, wenn du immer weiter halbierst?

Lösungen

1. a) $\frac{5}{7}$. b) $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. c) $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
2. a) $\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. b) $\frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{1}{12}$. c) $\frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$.
3. a) $3\frac{3}{4}$ (denn $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$). b) $4 = 3\frac{3}{3}$, also $3\frac{3}{3} - \frac{2}{3} = 3\frac{1}{3}$.
4. $\frac{2}{5}$ ist kleiner als $\frac{1}{2}$. Wenn man zu $\frac{1}{2}$ etwas addiert, muss das Ergebnis größer als $\frac{1}{2}$ sein. Richtig: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
5. Ganze: 3 km. Brüche: $\frac{3}{4} + \frac{2}{3} = \frac{9}{12} + \frac{8}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}$. Zusammen $4\frac{5}{12}$ km. Bis 6 km fehlen $6 - 4\frac{5}{12} = 1\frac{7}{12}$ km (denn $4\frac{5}{12} + \frac{7}{12} = 5$, dann noch 1 km).
6. Vertauschen und zusammenfassen (Kommutativ- und Assoziativgesetz): $\left(\frac{3}{8} + \frac{5}{8}\right) + \frac{5}{7} = 1 + \frac{5}{7} = 1\frac{5}{7}$.
7. a) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$. b) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$. c) $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ (denn $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$).
8. Hauptnenner 16: $\frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$. Bis 1 fehlt $\frac{1}{16}$. Es fehlt immer genau der zuletzt addierte Bruch. Die Summe kommt also beliebig nah an 1 heran, erreicht 1 aber nie.