Brüche multiplizieren und dividieren

Einstieg

Von einer Pizza ist noch $\frac{3}{4}$ übrig. Du isst die Hälfte davon. Wie viel von der ganzen Pizza hast du gegessen? Und andersherum: Du hast $\frac{3}{4}$ Liter Saft und füllst ihn in Gläser mit je $\frac{1}{8}$ Liter. Wie viele Gläser werden voll? Für beide Fragen brauchst du das Multiplizieren und Dividieren von Brüchen.

Erklärung

Bruch mal natürliche Zahl

$3 \cdot \frac{2}{5}$ heißt: dreimal $\frac{2}{5}$, also $\frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$. Du multiplizierst nur den Zähler mit der Zahl. Der Nenner bleibt, denn es bleiben Fünftel.

Bruch durch natürliche Zahl

$\frac{2}{5} : 3$ heißt: $\frac{2}{5}$ in drei gleiche Teile teilen. Teilst du jedes Fünftel in 3 Stücke, entstehen Fünfzehntel. Von denen hast du 2. Also $\frac{2}{5} : 3 = \frac{2}{15}$. Du multiplizierst den Nenner mit der Zahl.

Bruch mal Bruch: „von“ heißt „mal“

$\frac{1}{2}$ von $\frac{3}{4}$ ist dasselbe wie $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$. Am Rechteck siehst du, warum die Regel stimmt: Teile ein Rechteck senkrecht in 4 Streifen und färbe 3 davon ($\frac{3}{4}$). Teile es waagerecht in 2 Streifen und nimm davon einen ($\frac{1}{2}$ davon). Das Rechteck hat jetzt $2 \cdot 4 = 8$ Felder, doppelt gefärbt sind $1 \cdot 3 = 3$. Also:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$

Regel: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Kürze möglichst schon vor dem Ausmultiplizieren. Dann bleiben die Zahlen klein.

Wichtig: Wenn du mit einem Bruch kleiner als 1 malnimmst, wird das Ergebnis kleiner. „Mal“ macht also nicht immer größer.

Durch einen Bruch teilen

$3 : \frac{1}{4}$ fragt: Wie oft passt ein Viertel in 3 Ganze? In jedes Ganze passen 4 Viertel, in 3 Ganze also 12. Das ist dasselbe wie $3 \cdot 4$.

Allgemein: Teilen durch einen Bruch ist dasselbe wie Malnehmen mit seinem Kehrbruch. Den Kehrbruch bekommst du, wenn du Zähler und Nenner vertauschst. Der Kehrbruch von $\frac{3}{8}$ ist $\frac{8}{3}$.

$\frac{3}{4} : \frac{3}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{24}{12} = 2$

Probe mit Verstand: $\frac{3}{8}$ passt genau zweimal in $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$.

Teilst du durch einen Bruch kleiner als 1, wird das Ergebnis größer.

Beispiele

Beispiel 1: Multiplizieren mit Vorkürzen. $\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15}$

Kürze 5 und 15 durch 5, kürze 4 und 8 durch 4: $\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.

Ohne Vorkürzen: $\frac{20}{120} = \frac{1}{6}$. Gleiches Ergebnis, aber größere Zahlen.

Beispiel 2: Dividieren. $\frac{5}{6} : \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Beispiel 3: Gemischte Zahlen. $1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3}$

Erst in unechte Brüche umwandeln: $\frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{24}{6} = 4$. Gemischte Zahlen darfst du beim Malnehmen nicht Ganze mal Ganze und Bruch mal Bruch rechnen: $2 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = 2\frac{1}{3}$ wäre falsch.

Beispiel 4: Saft in Gläsern. $\frac{3}{4} : \frac{1}{8} = \frac{3}{4} \cdot 8 = \frac{24}{4} = 6$. Es werden 6 Gläser voll.

Merksatz

Multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Dividieren: mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchs malnehmen. Gemischte Zahlen vorher in unechte Brüche umwandeln. Vorher kürzen spart Arbeit.

Übungen

Grundlagen

1. a) $4 \cdot \frac{2}{9}$, b) $\frac{5}{6} : 5$, c) $\frac{3}{7} \cdot 2$.
2. a) $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}$, b) $\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15}$ (mit Vorkürzen), c) $\frac{3}{4} : \frac{1}{2}$.
3. Berechne: a) die Hälfte von $\frac{3}{5}$, b) $\frac{2}{3}$ von 60 €.

Weiter

4. Ein Beet ist $2\frac{1}{2}$ m lang und $\frac{3}{4}$ m breit. Wie groß ist seine Fläche?
5. Kim behauptet: „Wenn ich eine Zahl mit etwas multipliziere, wird sie immer größer.“ Widerlege die Aussage mit einem Beispiel und erkläre, wann sie stimmt.
6. Wie viele Flaschen zu je $\frac{1}{4}$ Liter kann man mit $2\frac{1}{2}$ Litern Apfelschorle füllen?

Knobeln

7. Welche Zahl gehört in das Kästchen? a) $\frac{2}{3} \cdot \square = 1$, b) $\frac{3}{5} \cdot \square = \frac{9}{10}$.
8. Ordne der Größe nach, ohne zu rechnen, und begründe: $12 \cdot \frac{3}{4}$, $\;12 : \frac{3}{4}$, $\;12 \cdot \frac{5}{4}$. Prüfe danach mit einer Rechnung.

Lösungen

1. a) $\frac{8}{9}$. b) $\frac{5}{30} = \frac{1}{6}$. c) $\frac{6}{7}$.
2. a) $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$. b) $\frac{1}{6}$ (siehe Beispiel 1). c) $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = 1\frac{1}{2}$.
3. a) $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$. b) $\frac{2}{3} \cdot 60\,€ = 40\,€$.
4. $\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}\,\text{m}^2$.
5. Gegenbeispiel: $3 \cdot \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$, das ist kleiner als 3. Die Aussage stimmt nur, wenn der zweite Faktor größer als 1 ist (und die Zahl positiv).
6. $\frac{5}{2} : \frac{1}{4} = \frac{5}{2} \cdot 4 = \frac{20}{2} = 10$ Flaschen.
7. a) Der Kehrbruch: $\frac{3}{2}$, denn $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$. b) $\frac{9}{10} : \frac{3}{5} = \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{3} = \frac{45}{30} = \frac{3}{2}$.
8. $12 \cdot \frac{3}{4}$ ist kleiner als 12 (Faktor kleiner 1). $12 \cdot \frac{5}{4}$ ist größer als 12 (Faktor größer 1). $12 : \frac{3}{4}$ ist größer als 12 (Teilen durch eine Zahl kleiner 1). Rechnung: $9 < 15 < 16$, denn $12 : \frac{3}{4} = 12 \cdot \frac{4}{3} = 16$. Reihenfolge: $12 \cdot \frac{3}{4} < 12 \cdot \frac{5}{4} < 12 : \frac{3}{4}$.