Brüche als Anteile: Zähler, Nenner und Bruchteile

Einstieg

Eine Pizza ist in 8 gleich große Stücke geschnitten. Du isst 3 Stücke. Wie viel von der Pizza hast du gegessen? „3 Stücke“ hilft niemandem, der die Pizza nicht gesehen hat. Bei einer Pizza mit 12 Stücken wären 3 Stücke viel weniger. Wichtig ist also nicht nur, wie viele Stücke du hast, sondern auch, in wie viele Stücke das Ganze geteilt war. Genau das schreibt ein Bruch auf: $\frac{3}{8}$.

Erklärung

Zähler, Nenner, Bruchstrich

Ein Bruch besteht aus drei Teilen:

Teil	Bedeutung	bei $\frac{3}{8}$
Nenner (unten)	In wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt ist. Er „nennt“ die Art der Teile: Achtel.	8
Zähler (oben)	Wie viele dieser Teile gemeint sind. Er „zählt“ sie.	3
Bruchstrich	trennt Zähler und Nenner

Ganz wichtig ist das Wort gleich groß. Wenn du einen Kuchen in 4 Stücke schneidest, die verschieden groß sind, ist ein Stück kein Viertel.

Ein Bruch mit dem Zähler 1 heißt Stammbruch, zum Beispiel $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ oder $\frac{1}{8}$. Jeder andere Bruch ist ein Vielfaches davon: $\frac{3}{8}$ sind drei Achtel, also $3 \cdot \frac{1}{8}$.

Brüche von Größen

Brüche beschreiben oft einen Teil einer Größe: „drei Viertel von 20 €“. So rechnest du:

1. Teile das Ganze durch den Nenner. Dann hast du ein Viertel: $20\,€ : 4 = 5\,€$.
2. Nimm das Ergebnis so oft, wie der Zähler sagt: $3 \cdot 5\,€ = 15\,€$.

Also sind $\frac{3}{4}$ von $20\,€$ genau $15\,€$.

Vom Teil zum Ganzen

Manchmal kennst du den Teil und suchst das Ganze. Beispiel: $\frac{2}{5}$ einer Klasse sind 12 Kinder. Dann gehst du rückwärts:

1. 2 Fünftel sind 12 Kinder, also ist 1 Fünftel $12 : 2 = 6$ Kinder.
2. Das Ganze sind 5 Fünftel: $5 \cdot 6 = 30$ Kinder.

Echte Brüche, unechte Brüche und gemischte Zahlen

• Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner, zum Beispiel $\frac{3}{4}$. Er ist kleiner als ein Ganzes.
• Bei einem unechten Bruch ist der Zähler mindestens so groß wie der Nenner, zum Beispiel $\frac{7}{4}$. Das sind 7 Viertel, also mehr als ein Ganzes.
• $\frac{7}{4}$ sind 4 Viertel (ein Ganzes) und 3 Viertel. Das kannst du als gemischte Zahl schreiben: $1\frac{3}{4}$.

Ein Bruch ist auch eine Division

Drei Pizzen werden gerecht an vier Kinder verteilt. Jedes Kind bekommt von jeder Pizza ein Viertel, zusammen also $\frac{3}{4}$ Pizza. Darum gilt: $3 : 4 = \frac{3}{4}$. Der Bruchstrich kann immer als Geteiltzeichen gelesen werden.

Brüche und Verhältnisse

Für Apfelschorle mischst du Saft und Wasser im Verhältnis $1 : 3$. Das heißt: Auf 1 Teil Saft kommen 3 Teile Wasser. Die Mischung besteht dann aus $1 + 3 = 4$ gleichen Teilen. Davon ist 1 Teil Saft. Der Saft ist also $\frac{1}{4}$ der Mischung, das Wasser $\frac{3}{4}$.

Vorsicht: Das Verhältnis $1 : 3$ bedeutet nicht, dass der Saft $\frac{1}{3}$ der Mischung ist. Der Nenner ist immer die Anzahl aller Teile.

Beispiele

Beispiel 1: Bruchteil berechnen. Wie viel sind $\frac{3}{5}$ von $45\,\text{kg}$?

$45\,\text{kg} : 5 = 9\,\text{kg}$ (ein Fünftel), dann $3 \cdot 9\,\text{kg} = 27\,\text{kg}$.

Antwort: $\frac{3}{5}$ von $45\,\text{kg}$ sind $27\,\text{kg}$.

Beispiel 2: Das Ganze finden. Lea hat schon $\frac{3}{8}$ ihrer Murmeln verschenkt. Das waren 24 Murmeln. Wie viele Murmeln hatte sie am Anfang?

3 Achtel sind 24 Murmeln, also ist 1 Achtel $24 : 3 = 8$ Murmeln. Das Ganze sind 8 Achtel: $8 \cdot 8 = 64$ Murmeln.

Antwort: Lea hatte 64 Murmeln.

Beispiel 3: Anteil als Bruch angeben. In einer Klasse mit 28 Kindern kommen 9 Kinder mit dem Bus. Der Anteil der Buskinder ist $\frac{9}{28}$. Der Nenner ist die Gesamtzahl, der Zähler die Anzahl, um die es geht.

Beispiel 4: Unechter Bruch und gemischte Zahl. $\frac{11}{3}$: Wie oft passt 3 in 11? Dreimal, Rest 2. Also $\frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$. Umgekehrt: $2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5}$.

Merksatz

Ein Bruch $\frac{a}{b}$ bedeutet: Das Ganze wird in $b$ gleich große Teile geteilt, und $a$ davon werden genommen. Den Bruchteil einer Größe berechnest du so: erst durch den Nenner teilen, dann mit dem Zähler malnehmen.

Übungen

Grundlagen

1. Schreibe als Bruch: a) drei Viertel, b) fünf Sechstel, c) ein Zehntel. Nenne jeweils Zähler und Nenner.
2. Berechne: a) $\frac{1}{4}$ von 36 m, b) $\frac{2}{3}$ von 21 €, c) $\frac{5}{6}$ von 1 h (in Minuten).
3. Wandle um: a) $\frac{9}{4}$ in eine gemischte Zahl, b) $3\frac{1}{2}$ in einen unechten Bruch.

Weiter

4. Von 32 Kindern einer Klasse spielen 12 im Verein Fußball. Gib den Anteil als Bruch an. Wie groß ist der Anteil der Kinder, die nicht im Fußballverein sind?
5. $\frac{4}{7}$ einer Strecke sind 20 km. Wie lang ist die ganze Strecke?
6. Tim sagt: „Ich habe die Schokolade in drei Stücke gebrochen und eins gegessen, also habe ich ein Drittel gegessen.“ Was muss stimmen, damit Tim recht hat?
7. Für einen Sirup mischt Ben Saft und Wasser im Verhältnis $2 : 5$. Welcher Anteil der Mischung ist Saft? Wie viel Saft steckt in 1,4 Litern Mischung?

Knobeln

8. Mia gibt $\frac{1}{3}$ ihres Taschengelds für Kino aus und $\frac{1}{4}$ für Süßes. Es bleiben ihr 10 €. Wie viel Taschengeld hatte sie? (Tipp: Denke in Zwölfteln.)
9. Vier Kinder teilen sich gerecht drei gleich große Pizzen. Welchen Bruchteil einer Pizza bekommt jedes Kind? Erkläre zwei verschiedene Arten, die Pizzen zu schneiden.

Lösungen

1. a) $\frac{3}{4}$: Zähler 3, Nenner 4. b) $\frac{5}{6}$: Zähler 5, Nenner 6. c) $\frac{1}{10}$: Zähler 1, Nenner 10.
2. a) $36\,\text{m} : 4 = 9\,\text{m}$. b) $21\,€ : 3 = 7\,€$, $2 \cdot 7\,€ = 14\,€$. c) $60\,\text{min} : 6 = 10\,\text{min}$, $5 \cdot 10\,\text{min} = 50\,\text{min}$.
3. a) 4 passt zweimal in 9, Rest 1: $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$. b) $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$.
4. Anteil Fußball: $\frac{12}{32}$. Nicht im Verein sind $32 - 12 = 20$ Kinder, Anteil $\frac{20}{32}$. (Gekürzt sind das $\frac{3}{8}$ und $\frac{5}{8}$. Das Kürzen lernst du in der nächsten Lektion.)
5. 4 Siebtel sind 20 km, 1 Siebtel ist $20 : 4 = 5$ km. Ganze Strecke: $7 \cdot 5\,\text{km} = 35\,\text{km}$.
6. Die drei Stücke müssen gleich groß sein. Nur dann ist ein Stück ein Drittel.
7. Die Mischung hat $2 + 5 = 7$ gleiche Teile, davon sind 2 Teile Saft. Anteil Saft: $\frac{2}{7}$ (nicht $\frac{2}{5}$). In 1,4 Litern: $1{,}4\,\ell : 7 = 0{,}2\,\ell$ pro Teil, Saft $2 \cdot 0{,}2\,\ell = 0{,}4\,\ell$.
8. $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ und $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$. Ausgegeben: $\frac{7}{12}$, übrig $\frac{5}{12}$. 5 Zwölftel sind 10 €, also 1 Zwölftel 2 €. Taschengeld: $12 \cdot 2\,€ = 24\,€$. Probe: $8\,€ + 6\,€ + 10\,€ = 24\,€$.
9. Jedes Kind bekommt $\frac{3}{4}$ Pizza. Art 1: Jede Pizza in 4 Viertel schneiden, jedes Kind bekommt von jeder Pizza ein Viertel (3 Viertel). Art 2: Aus jeder Pizza wird ein großes Stück mit $\frac{3}{4}$ für je ein Kind geschnitten. Die drei übrigen Viertel bekommt das vierte Kind. Beide Wege ergeben $3 : 4 = \frac{3}{4}$.