Brüche erweitern und kürzen

Einstieg

Zwei gleich große Pizzen. Lisa isst die Hälfte ihrer Pizza. Ben hat seine Pizza in 8 Stücke geschnitten und isst 4 davon. Ben behauptet: „Ich habe mehr gegessen, ich hatte ja 4 Stücke.“ Stimmt das? Lisa hat $\frac{1}{2}$ gegessen, Ben $\frac{4}{8}$. Wenn du dir beide Pizzen nebeneinander vorstellst, siehst du: Beide haben gleich viel gegessen. Ben hat nur feiner geschnitten.

Erklärung

Erweitern heißt: feiner einteilen

Teilst du jedes Stück eines Ganzen noch einmal in gleich große Teile, ändert sich die Menge nicht. Nur die Einteilung wird feiner. Aus $\frac{1}{2}$ wird so $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{6}$ oder $\frac{4}{8}$.

Rechnerisch: Du multiplizierst Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Diese Zahl heißt Erweiterungszahl.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}$

Der Nenner wird viermal so groß, weil es viermal so viele Teile gibt. Der Zähler wird viermal so groß, weil jedes alte Stück jetzt aus 4 neuen besteht.

Kürzen heißt: gröber einteilen

Kürzen ist die Umkehrung. Du fasst gleich viele Teile zu einem größeren Teil zusammen. Rechnerisch dividierst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl, die beide teilt.

$\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}$

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr haben. Am schnellsten kürzt du mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT). Du kannst aber auch in mehreren kleinen Schritten kürzen.

Beim Finden von Teilern helfen die Teilbarkeitsregeln:

Teiler	Regel
2	letzte Ziffer gerade
3	Quersumme durch 3 teilbar
5	letzte Ziffer 0 oder 5
9	Quersumme durch 9 teilbar
10	letzte Ziffer 0

Gleichwertige Brüche

Brüche, die durch Erweitern oder Kürzen auseinander hervorgehen, beschreiben dieselbe Zahl. Sie liegen an derselben Stelle auf dem Zahlenstrahl. Man sagt auch: Sie sind gleichwertig.

Auf einen bestimmten Nenner erweitern

Oft brauchst du einen bestimmten Nenner. Frage dich: Mit welcher Zahl muss ich den alten Nenner malnehmen, um den neuen zu bekommen? Mit derselben Zahl erweiterst du den Zähler.

Das hilft auch beim Umwandeln in Dezimalzahlen: Erweitere auf den Nenner 10, 100 oder 1000.

$\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0{,}75 \qquad \frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4$

Ein häufiger Fehler

Beim Erweitern darfst du nicht addieren. $\frac{2}{3}$ ist nicht dasselbe wie $\frac{2+1}{3+1} = \frac{3}{4}$. Prüfe es: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$, aber $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$. Das sind verschiedene Zahlen.

Beispiele

Beispiel 1: Auf einen vorgegebenen Nenner erweitern. Erweitere $\frac{3}{5}$ auf den Nenner 20.

$20 : 5 = 4$. Die Erweiterungszahl ist 4. $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20}$.

Beispiel 2: Vollständig kürzen. Kürze $\frac{36}{48}$.

Weg A, in Schritten: $\frac{36}{48} = \frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ (zweimal durch 2, dann durch 3).

Weg B, mit dem ggT: Teiler von 36 sind 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Teiler von 48 sind 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Der größte gemeinsame ist 12. $\frac{36 : 12}{48 : 12} = \frac{3}{4}$.

Beispiel 3: Sind die Brüche gleichwertig? Gilt $\frac{15}{35} = \frac{9}{21}$?

Kürze beide: $\frac{15}{35} = \frac{3}{7}$ (durch 5) und $\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$ (durch 3). Ja, beide sind gleich $\frac{3}{7}$.

Beispiel 4: Anteil gekürzt angeben. 18 von 24 Kindern haben ein Haustier. Anteil: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (durch 6). Drei Viertel der Kinder haben ein Haustier.

Merksatz

Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren. Der Wert des Bruchs bleibt dabei gleich. Nur die Einteilung wird feiner oder gröber.

Übungen

Grundlagen

1. Erweitere mit 3: a) $\frac{1}{4}$, b) $\frac{2}{5}$, c) $\frac{7}{10}$.
2. Kürze vollständig: a) $\frac{8}{12}$, b) $\frac{15}{25}$, c) $\frac{27}{36}$.
3. Ergänze die fehlende Zahl: a) $\frac{3}{8} = \frac{\square}{40}$, b) $\frac{5}{6} = \frac{20}{\square}$, c) $\frac{\square}{9} = \frac{14}{63}$.

Weiter

4. Wandle in einen Dezimalbruch um, indem du auf 10, 100 oder 1000 erweiterst: a) $\frac{1}{2}$, b) $\frac{7}{20}$, c) $\frac{3}{8}$.
5. Welche Brüche sind gleichwertig zu $\frac{2}{3}$? $\frac{4}{6}$, $\frac{6}{8}$, $\frac{10}{15}$, $\frac{12}{18}$, $\frac{3}{4}$.
6. Jonas kürzt so: $\frac{16}{64} = \frac{1}{4}$, weil er die 6 „wegstreicht“. Das Ergebnis stimmt zufällig. Zeige an $\frac{12}{24}$, dass sein Verfahren falsch ist, und kürze richtig.

Knobeln

7. Finde drei verschiedene Brüche, die zwischen $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$ liegen. (Tipp: Erweitere beide auf einen großen gemeinsamen Nenner.)
8. Ein Bruch hat den Nenner 24 und lässt sich zu $\frac{5}{6}$ kürzen. Wie heißt er? Gibt es einen Bruch mit dem Nenner 25, der sich zu $\frac{5}{6}$ kürzen lässt? Begründe.

Lösungen

1. a) $\frac{3}{12}$, b) $\frac{6}{15}$, c) $\frac{21}{30}$.
2. a) ggT 4: $\frac{2}{3}$. b) ggT 5: $\frac{3}{5}$. c) ggT 9: $\frac{3}{4}$.
3. a) $40 : 8 = 5$, also $\frac{15}{40}$. b) $20 : 5 = 4$, also $\frac{20}{24}$. c) $63 : 9 = 7$ und $14 : 7 = 2$, also $\frac{2}{9}$.
4. a) $\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5$. b) $\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0{,}35$. c) $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000} = 0{,}375$ (erweitert mit 125).
5. Gleichwertig: $\frac{4}{6}$, $\frac{10}{15}$, $\frac{12}{18}$ (alle lassen sich zu $\frac{2}{3}$ kürzen). Nicht gleichwertig: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ und $\frac{3}{4}$.
6. Streicht man in $\frac{12}{24}$ die 2, erhält man $\frac{1}{4}$. Richtig ist: ggT von 12 und 24 ist 12, also $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$. Kürzen heißt Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren, nicht Ziffern streichen. Bei $\frac{16}{64}$ passt das Streichen nur durch Zufall.
7. $\frac{1}{3} = \frac{8}{24}$ und $\frac{1}{2} = \frac{12}{24}$. Dazwischen liegen zum Beispiel $\frac{9}{24}$, $\frac{10}{24}$ und $\frac{11}{24}$ (gekürzt $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{12}$, $\frac{11}{24}$).
8. $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$. Mit Nenner 25 geht es nicht: Beim Kürzen zu $\frac{5}{6}$ müsste 25 ein Vielfaches von 6 sein, denn jeder gleichwertige Bruch hat die Form $\frac{5k}{6k}$. 25 ist aber nicht durch 6 teilbar.