t-v-Diagramm: Geschwindigkeit und Weg als Fläche

Einstieg

Der Tacho eines Autos zeigt in jedem Moment die Geschwindigkeit an. Schreibt man die Tachowerte während einer Fahrt Sekunde für Sekunde auf, erhält man ein zweites wichtiges Diagramm: das Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm, kurz t-v-Diagramm. Es verrät nicht nur, wie schnell jemand war, sondern auch, wie weit er gekommen ist.

Erklärung

Aufbau des t-v-Diagramms

• Waagerechte Achse: die Zeit $t$ (zum Beispiel in s).
• Senkrechte Achse: die Geschwindigkeit $v$ (zum Beispiel in m/s).

Gleichförmige Bewegung: eine waagerechte Linie

Bei einer gleichförmigen Bewegung ändert sich die Geschwindigkeit nicht. Im t-v-Diagramm ist das eine waagerechte Linie in der Höhe $v$. Eine Linie bei $v = 0$ bedeutet Ruhe.

Verwechsle die beiden Diagramme nicht:

Bewegung	t-s-Diagramm	t-v-Diagramm
Ruhe	waagerechte Linie	Linie auf der Zeitachse ($v = 0$)
gleichförmig	steigende Gerade	waagerechte Linie oberhalb der Zeitachse
schneller gleichförmig	steilere Gerade	höhere waagerechte Linie

Die Fläche ist der Weg

Fährt ein Körper 6 s lang mit $4\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$, legt er $s = v \cdot t = 4\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6\,\text{s} = 24\,\text{m}$ zurück. Im t-v-Diagramm ist $v \cdot t$ genau die Fläche des Rechtecks unter der Linie: Höhe $v$ mal Breite $t$.

Die Fläche unter dem Graphen im t-v-Diagramm ist der zurückgelegte Weg.

Das gilt auch, wenn die Bewegung aus mehreren Abschnitten besteht: Man addiert die Flächen der einzelnen Rechtecke.

Probiere es aus: Auf der x-Achse steht die Zeit in s, auf der y-Achse die Geschwindigkeit in m/s. Verändere $v$. Der Punkt bei $t = 6\,\text{s}$ zeigt die Höhe des Rechtecks, seine Fläche ist $6 \cdot v$.

Vom t-s-Diagramm zum t-v-Diagramm

1. Bestimme im t-s-Diagramm für jeden geraden Abschnitt die Steigung, also die Geschwindigkeit.
2. Trage im t-v-Diagramm für diesen Zeitabschnitt eine waagerechte Linie in dieser Höhe ein.

Umgekehrt berechnest du aus dem t-v-Diagramm für jeden Abschnitt den Weg (Fläche) und trägst den neuen Ort ins t-s-Diagramm ein.

Ausblick: Beschleunigte Bewegungen

Fährt ein Auto an, steigt die Geschwindigkeit. Im t-v-Diagramm ist das eine steigende Linie, im t-s-Diagramm eine immer steiler werdende Kurve. Auch hier ist die Fläche unter dem t-v-Graphen der Weg, dann aber ein Dreieck oder eine andere Figur.

Beispiele

Beispiel 1: Weg aus dem t-v-Diagramm

Ein Zug fährt 2 min mit $20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und dann 3 min mit $30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

• Abschnitt 1: $20\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 120\,\text{s} = 2400\,\text{m}$
• Abschnitt 2: $30\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 180\,\text{s} = 5400\,\text{m}$
• zusammen: $7800\,\text{m} = 7{,}8\,\text{km}$

Beispiel 2: t-v-Diagramm aus dem t-s-Diagramm

Im t-s-Diagramm eines Läufers steigt die Gerade von $(0 \mid 0)$ bis $(10\,\text{s} \mid 40\,\text{m})$, dann bleibt sie waagerecht bis 15 s. Geschwindigkeiten: erst $\frac{40\,\text{m}}{10\,\text{s}} = 4\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$, dann 0. Im t-v-Diagramm: Linie bei 4 von 0 bis 10 s, danach Linie auf der Zeitachse bis 15 s.

Beispiel 3: Ein häufiger Fehler

Eine waagerechte Linie bei $v = 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ bedeutet nicht, dass der Körper steht. Er fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Stehen bedeutet $v = 0$.

Merksatz

Im t-v-Diagramm ist eine gleichförmige Bewegung eine waagerechte Linie. Die Fläche unter dem Graphen ist der zurückgelegte Weg: $s = v \cdot t$. Aus der Steigung im t-s-Diagramm erhält man die Höhe im t-v-Diagramm.

Übungen

Grundlagen

1. Zeichne das t-v-Diagramm für ein Auto, das 10 s lang mit $15\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ fährt. Berechne den Weg als Fläche.
2. Beschreibe, wie Ruhe im t-s- und im t-v-Diagramm aussieht.
3. Im t-v-Diagramm liegt eine Linie bei $v = 3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ von $t = 0$ bis $t = 20\,\text{s}$. Wie weit kommt der Körper?

Weiter

4. Eine Radfahrerin fährt 5 min mit $6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$, wartet 1 min an einer Ampel und fährt dann 4 min mit $5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Zeichne das t-v-Diagramm und berechne den Gesamtweg.
5. Zeichne zu Aufgabe 4 das t-s-Diagramm.
6. Lea sagt: „Im t-v-Diagramm ist die Linie waagerecht, also bewegt sich der Körper nicht.“ Erkläre ihren Fehler.

Knobeln

7. Ein Auto beschleunigt gleichmäßig von 0 auf $20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ in 10 s. Im t-v-Diagramm ist das eine Gerade vom Ursprung bis $(10\,\text{s} \mid 20\,\frac{\text{m}}{\text{s}})$. Bestimme den Weg als Fläche. Vergleiche mit dem Weg, wenn es die ganze Zeit $20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ gefahren wäre.
8. Zwei Läufer laufen 60 s. Läufer A läuft die ganze Zeit $5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Läufer B läuft 30 s mit $4\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und dann 30 s mit $6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Wer kommt weiter? Begründe mit den Flächen.

Lösungen

1. Waagerechte Linie bei 15 von 0 bis 10 s. $s = 15\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 10\,\text{s} = 150\,\text{m}$.
2. t-s-Diagramm: waagerechte Linie (Ort ändert sich nicht). t-v-Diagramm: Linie auf der Zeitachse ($v = 0$).
3. $s = 3\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 20\,\text{s} = 60\,\text{m}$.
4. Linie bei 6 von 0 bis 5 min, bei 0 von 5 bis 6 min, bei 5 von 6 bis 10 min. Wege: $6 \cdot 300 = 1800\,\text{m}$, $0\,\text{m}$, $5 \cdot 240 = 1200\,\text{m}$. Gesamt: $3000\,\text{m} = 3\,\text{km}$.
5. Gerade von $(0 \mid 0)$ bis $(5\,\text{min} \mid 1800\,\text{m})$, waagerecht bis $(6\,\text{min} \mid 1800\,\text{m})$, dann flachere Gerade bis $(10\,\text{min} \mid 3000\,\text{m})$.
6. Waagerecht im t-v-Diagramm heißt: Die Geschwindigkeit ist konstant. Der Körper bewegt sich gleichförmig. Nur eine waagerechte Linie im t-s-Diagramm oder eine Linie bei $v = 0$ bedeutet Ruhe.
7. Dreiecksfläche: $\frac{1}{2} \cdot 10\,\text{s} \cdot 20\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 100\,\text{m}$. Mit konstant $20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ wären es $200\,\text{m}$, also doppelt so viel.
8. A: $5 \cdot 60 = 300\,\text{m}$. B: $4 \cdot 30 + 6 \cdot 30 = 120 + 180 = 300\,\text{m}$. Beide kommen gleich weit, die Flächen sind gleich groß.