Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit

Einstieg

Ein Navi sagt: „Ankunft in 1 Stunde, 80 km.“ Trotzdem fährt das Auto nicht die ganze Zeit mit 80 km/h. Mal steht es an der Ampel, mal fährt es auf der Autobahn 120 km/h. Die 80 km/h sind ein Mittelwert. Der Tacho zeigt dagegen immer die Geschwindigkeit im jeweiligen Augenblick. Diese beiden Geschwindigkeiten haben eigene Namen.

Erklärung

Durchschnittsgeschwindigkeit

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der gesamte Weg geteilt durch die gesamte Zeit, Pausen eingeschlossen:

$\bar{v} = \frac{s_{\text{gesamt}}}{t_{\text{gesamt}}}$

Sie sagt, mit welcher konstanten Geschwindigkeit man in derselben Zeit denselben Weg geschafft hätte. Über die einzelnen Abschnitte sagt sie nichts.

Momentangeschwindigkeit

Die Momentangeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit in einem bestimmten Augenblick. Sie zeigt der Tacho. Messen kann man sie näherungsweise, indem man einen sehr kurzen Weg und die dafür gebrauchte, sehr kurze Zeit misst. Eine Radarkontrolle der Polizei misst die Momentangeschwindigkeit.

Bei einer gleichförmigen Bewegung sind Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit gleich.

Im t-s-Diagramm

• Die Steigung eines Abschnitts ist die Geschwindigkeit in diesem Abschnitt.
• Die Steigung der Verbindungsgeraden von Start und Ziel ist die Durchschnittsgeschwindigkeit.

Ein beliebter Fehler

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist nicht einfach der Mittelwert der Geschwindigkeiten. Das klappt nur, wenn alle Abschnitte gleich lang dauern. Dauern sie verschieden lange, zählt der Abschnitt, in dem man länger unterwegs war, stärker.

Beispiele

Beispiel 1: Die Radtour aus dem Diagramm

Abschnitt	Zeit	Weg	Geschwindigkeit
1	20 min	5 km	$\frac{5\,\text{km}}{\frac{1}{3}\,\text{h}} = 15\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$
Pause	10 min	0 km	0
2	30 min	6 km	$\frac{6\,\text{km}}{0{,}5\,\text{h}} = 12\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$

Durchschnittsgeschwindigkeit: $\bar{v} = \frac{11\,\text{km}}{1\,\text{h}} = 11\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

Beispiel 2: Hin schnell, zurück langsam

Ein Auto fährt 120 km mit $60\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ hin und dieselben 120 km mit $40\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ zurück.

• Hinweg: $t_1 = \frac{120\,\text{km}}{60\,\frac{\text{km}}{\text{h}}} = 2\,\text{h}$
• Rückweg: $t_2 = \frac{120\,\text{km}}{40\,\frac{\text{km}}{\text{h}}} = 3\,\text{h}$
• $\bar{v} = \frac{240\,\text{km}}{5\,\text{h}} = 48\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$

Der Mittelwert $\frac{60 + 40}{2} = 50$ ist falsch. Auf dem langsamen Rückweg war das Auto länger unterwegs, deshalb liegt der Durchschnitt näher an 40.

Beispiel 3: Abschnittskontrolle

Auf manchen Straßen misst die Polizei, wie lange ein Auto für eine Strecke braucht. Für 3 km braucht ein Auto 2 min. $\bar{v} = \frac{3\,\text{km}}{\frac{1}{30}\,\text{h}} = 90\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Gilt dort ein Tempolimit von 80 km/h, war das Auto zu schnell, auch wenn der Tacho an keiner Stelle beobachtet wurde. Ist der Durchschnitt über 80 km/h, muss es mindestens zeitweise schneller als 80 km/h gefahren sein.

Merksatz

Durchschnittsgeschwindigkeit = Gesamtweg durch Gesamtzeit, Pausen eingeschlossen. Die Momentangeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit in einem Augenblick (Tacho). Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist im Allgemeinen nicht der Mittelwert der einzelnen Geschwindigkeiten.

Übungen

Grundlagen

1. Erkläre den Unterschied zwischen Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit an einem Beispiel.
2. Eine Familie fährt in 4 h 360 km in den Urlaub. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit.
3. Was misst eine Radarfalle, was eine Abschnittskontrolle?

Weiter

4. Ein Schüler geht 10 min lang 800 m zum Bus, wartet 5 min und fährt dann 15 min lang 9 km mit dem Bus. Berechne die Geschwindigkeiten der Abschnitte und die Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h.
5. Paula läuft eine Runde von 400 m in 80 s und die zweite in 100 s. Ihre Freundin rechnet: „Durchschnitt ist $\frac{5 + 4}{2} = 4{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.“ Stimmt das? Begründe.
6. Zeichne das t-s-Diagramm zu Aufgabe 4 und trage die Gerade der Durchschnittsgeschwindigkeit ein.

Knobeln

7. Ein Radfahrer fährt einen Berg hinauf (3 km) mit $10\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Wie schnell muss er auf demselben Weg zurück fahren, damit er insgesamt einen Durchschnitt von $20\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ erreicht?
8. Ein Auto fährt eine Stunde lang mit $100\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und eine Stunde lang mit $50\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Ist hier der Mittelwert richtig? Begründe.

Lösungen

1. Der Tacho zeigt die Momentangeschwindigkeit, zum Beispiel 0 km/h an der Ampel und 50 km/h auf der Straße. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der gesamte Weg geteilt durch die gesamte Zeit, zum Beispiel 30 km/h für die ganze Fahrt.
2. $\bar{v} = \frac{360\,\text{km}}{4\,\text{h}} = 90\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
3. Die Radarfalle misst die Momentangeschwindigkeit an einer Stelle, die Abschnittskontrolle die Durchschnittsgeschwindigkeit auf einer Strecke.
4. Gehen: $\frac{0{,}8\,\text{km}}{\frac{1}{6}\,\text{h}} = 4{,}8\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Warten: 0. Bus: $\frac{9\,\text{km}}{0{,}25\,\text{h}} = 36\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Durchschnitt: $\frac{9{,}8\,\text{km}}{0{,}5\,\text{h}} = 19{,}6\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
5. Nein. Die Rundengeschwindigkeiten sind $5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und $4\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$, aber die Runden dauern verschieden lang. Richtig: $\bar{v} = \frac{800\,\text{m}}{180\,\text{s}} \approx 4{,}4\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.
6. Gerade bis $(10\,\text{min} \mid 0{,}8\,\text{km})$, waagerecht bis $(15\,\text{min} \mid 0{,}8\,\text{km})$, steile Gerade bis $(30\,\text{min} \mid 9{,}8\,\text{km})$. Die Durchschnittsgerade verbindet $(0 \mid 0)$ mit $(30\,\text{min} \mid 9{,}8\,\text{km})$.
7. Für 6 km mit $20\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ hat er $0{,}3\,\text{h}$ Zeit. Bergauf braucht er schon $\frac{3\,\text{km}}{10\,\frac{\text{km}}{\text{h}}} = 0{,}3\,\text{h}$. Für den Rückweg bleibt keine Zeit. Es ist unmöglich, egal wie schnell er zurück fährt.
8. Ja. Beide Abschnitte dauern gleich lang. $\bar{v} = \frac{100\,\text{km} + 50\,\text{km}}{2\,\text{h}} = 75\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$, das ist genau der Mittelwert.