t-s-Diagramm zeichnen und Geschwindigkeit ablesen

Einstieg

Eine Messtabelle mit zwanzig Zeilen ist schwer zu überblicken. Ob jemand schnell oder langsam war, ob er stehen geblieben ist oder ob er jemanden überholt hat, sieht man in einem Diagramm auf einen Blick. Das wichtigste Diagramm für Bewegungen ist das Zeit-Ort-Diagramm, kurz t-s-Diagramm.

Erklärung

Aufbau des t-s-Diagramms

• Auf der waagerechten Achse steht die Zeit $t$ (die unabhängige Größe).
• Auf der senkrechten Achse steht der Ort $s$ (die abhängige Größe).
• Jedes Wertepaar aus der Messtabelle wird ein Punkt.

Beschrifte beide Achsen mit Größe und Einheit, zum Beispiel „$t$ in s“ und „$s$ in m“, und wähle eine gleichmäßige Einteilung.

Gleichförmige Bewegung: eine Gerade

Bei einer gleichförmigen Bewegung kommen in gleichen Zeiten gleiche Wege dazu. Die Punkte liegen auf einer Geraden. Startet der Körper zum Zeitpunkt $t = 0$ am Nullpunkt, ist es eine Ursprungsgerade: $s$ ist proportional zu $t$.

$s = v \cdot t$

Die Steigung ist die Geschwindigkeit

Zeichnest du an die Gerade ein Steigungsdreieck, so ist

$\text{Steigung} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = v$

Je steiler die Gerade, desto größer die Geschwindigkeit. Eine waagerechte Linie bedeutet: Der Ort ändert sich nicht, der Körper ruht. Eine fallende Linie bedeutet: Der Körper bewegt sich zurück, in Richtung Nullpunkt.

Startort

Beginnt die Bewegung nicht am Nullpunkt, sondern am Ort $s_0$, verschiebt sich die Gerade nach oben:

$s = v \cdot t + s_0$

Probiere es aus: Auf der x-Achse steht die Zeit $t$ in s, auf der y-Achse der Ort $s$ in m. Mit $v$ veränderst du die Geschwindigkeit in m/s, mit $b$ den Startort $s_0$ in m.

Beobachte: $v$ verändert die Steilheit, $b$ verschiebt die Gerade nach oben. Bei $v = 0$ ist die Linie waagerecht.

Aus dem Diagramm ablesen

• Ort zu einem Zeitpunkt: senkrecht von der Zeitachse bis zur Geraden, dann waagerecht zur Ortsachse.
• Zeitpunkt zu einem Ort: umgekehrt.
• Geschwindigkeit: Steigungsdreieck zeichnen, $\Delta s$ durch $\Delta t$ teilen.
• Treffpunkt zweier Körper: Schnittpunkt der beiden Geraden. Dort sind beide zur selben Zeit am selben Ort.

Beispiele

Beispiel 1: Geschwindigkeit ablesen

Eine Gerade geht durch $(0\,\text{s} \mid 0\,\text{m})$ und $(8\,\text{s} \mid 24\,\text{m})$. $v = \frac{24\,\text{m}}{8\,\text{s}} = 3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Beispiel 2: Wer ist schneller?

Im selben t-s-Diagramm sind die Geraden von Ali und Mia eingezeichnet. Alis Gerade ist steiler. Also ist Ali schneller. Ohne zu rechnen sieht man das an der Steigung.

Beispiel 3: Einholen

Ben startet mit 30 m Vorsprung und läuft mit $2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Anna startet am Nullpunkt mit $5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

• Ben: $s = 2 \cdot t + 30$, Anna: $s = 5 \cdot t$ (Ort in m, Zeit in s).
• Treffpunkt: $5t = 2t + 30$, also $3t = 30$ und $t = 10\,\text{s}$.
• Ort: $s = 5 \cdot 10 = 50\,\text{m}$.

Im Diagramm schneiden sich die beiden Geraden im Punkt $(10\,\text{s} \mid 50\,\text{m})$.

Beispiel 4: Pause

Ein Wanderer geht 1 h lang mit $4\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$, macht 30 min Pause und geht dann 1 h mit $3\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ weiter. Das t-s-Diagramm besteht aus drei Stücken: eine steile Gerade bis $(1\,\text{h} \mid 4\,\text{km})$, ein waagerechtes Stück bis $(1{,}5\,\text{h} \mid 4\,\text{km})$, dann eine flachere Gerade bis $(2{,}5\,\text{h} \mid 7\,\text{km})$.

Merksatz

Im t-s-Diagramm ist eine gleichförmige Bewegung eine Gerade. Ihre Steigung ist die Geschwindigkeit: je steiler, desto schneller. Eine waagerechte Linie bedeutet Ruhe. Der Schnittpunkt zweier Geraden zeigt, wann und wo sich zwei Körper treffen.

Übungen

Grundlagen

1. Zeichne das t-s-Diagramm zur Tabelle: $t$ in s: 0, 2, 4, 6; $s$ in m: 0, 6, 12, 18. Bestimme die Geschwindigkeit.
2. Beschreibe, was eine waagerechte Linie im t-s-Diagramm bedeutet.
3. Zwei Geraden starten im Ursprung. Die eine erreicht nach 4 s den Ort 20 m, die andere nach 4 s den Ort 12 m. Welche Geschwindigkeiten gehören dazu?

Weiter

4. Ein Radfahrer startet am Ort $s_0 = 100\,\text{m}$ und fährt mit $5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ weiter vom Nullpunkt weg. Gib die Gleichung an und berechne seinen Ort nach 30 s.
5. Skizziere das t-s-Diagramm: Ein Kind geht 2 min zur Bushaltestelle, wartet 5 min, fährt dann 8 min mit dem Bus. Beschreibe, woran man im Diagramm Gehen, Warten und Busfahren unterscheidet.
6. Tom sagt: „Die Gerade im t-s-Diagramm zeigt den Weg, den das Auto über den Berg fährt.“ Was ist falsch?

Knobeln

7. Zwei Züge fahren auf parallelen Gleisen. Zug A startet um 10:00 Uhr in Hannover mit $120\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ Richtung Göttingen. Zug B startet zur gleichen Zeit 100 km entfernt in Göttingen mit $80\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ Richtung Hannover. Wann und wo begegnen sie sich? Löse zeichnerisch und rechnerisch.
8. Stelle im interaktiven Graphen $v = 6$ und $b = 0$ ein. Welche Geschwindigkeit und welcher Startort gehören zu einer zweiten Geraden, die die erste genau bei $t = 5\,\text{s}$ schneidet und bei $s = 20\,\text{m}$ beginnt?

Lösungen

1. Ursprungsgerade durch $(6\,\text{s} \mid 18\,\text{m})$. $v = \frac{18\,\text{m}}{6\,\text{s}} = 3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.
2. Der Ort ändert sich mit der Zeit nicht. Der Körper ruht.
3. $v_1 = \frac{20\,\text{m}}{4\,\text{s}} = 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$, $v_2 = \frac{12\,\text{m}}{4\,\text{s}} = 3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.
4. $s = 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t + 100\,\text{m}$. Nach 30 s: $s = 150\,\text{m} + 100\,\text{m} = 250\,\text{m}$.
5. Gehen: flache steigende Gerade (2 min). Warten: waagerechte Linie (5 min). Busfahren: deutlich steilere Gerade (8 min). Die Steilheit zeigt die Geschwindigkeit, waagerecht heißt Stillstand.
6. Das t-s-Diagramm zeigt nicht die Form der Strecke, sondern wie sich der Ort mit der Zeit ändert. Eine steile Linie heißt „schnell“, nicht „bergauf“.
7. Ort ab Hannover: Zug A $s = 120 \cdot t$, Zug B $s = 100 - 80 \cdot t$ ($t$ in h, $s$ in km). Gleichsetzen: $120t = 100 - 80t$, $200t = 100$, $t = 0{,}5\,\text{h}$. Ort: $s = 60\,\text{km}$ ab Hannover. Sie begegnen sich um 10:30 Uhr, 60 km von Hannover entfernt.
8. Die erste Gerade ist bei $t = 5\,\text{s}$ am Ort $6 \cdot 5 = 30\,\text{m}$. Die zweite beginnt bei 20 m und soll nach 5 s ebenfalls bei 30 m sein. $v = \frac{30\,\text{m} - 20\,\text{m}}{5\,\text{s}} = 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Einstellung: $v = 2$, $b = 20$.