Leistung berechnen: Watt und Treppensteigen

Einstieg

Ein Wasserkocher und ein Kochtopf auf einer kleinen Campingplatte bringen beide einen Liter Wasser zum Kochen. Das Wasser braucht in beiden Fällen ungefähr dieselbe Energie. Trotzdem ist der Wasserkocher nach drei Minuten fertig, die Campingplatte erst nach einer Viertelstunde. Der Unterschied liegt darin, wie schnell die Energie übertragen wird. Dafür gibt es eine eigene Größe: die Leistung.

Erklärung

Leistung als Energie pro Zeit

Die Leistung gibt an, wie viel Energie pro Sekunde übertragen oder umgewandelt wird. Sie heißt deshalb auch Energiestromstärke.

$P = \frac{E}{t}$

• Formelzeichen: $P$ (von englisch power)
• Einheit: 1 Watt (1 W), benannt nach James Watt
• $1\,\text{W} = \frac{1\,\text{J}}{1\,\text{s}}$: Bei 1 W wird in jeder Sekunde 1 J übertragen.
• 1 Kilowatt (1 kW) $= 1000$ W, 1 Megawatt (1 MW) $= 1000$ kW

Eine ältere Einheit findest du noch bei Autos: 1 PS (Pferdestärke) entspricht etwa 735 W.

Umgestellt: $E = P \cdot t$ und $t = \frac{E}{P}$.

Typische Leistungen

Was	Leistung (ungefähr)
Mensch, Dauerleistung beim Radfahren	100 W
Mensch, kurzer Sprint	1000 W und mehr
Mittelklasse-Auto, Höchstleistung	100 kW
ICE-Zug	8 MW
große Windkraftanlage an Land	3 bis 6 MW
großes Kraftwerk	1000 MW

Versuch: Deine eigene Leistung beim Treppensteigen

Um einen Körper anzuheben, braucht man Energie. Für die Lageenergie gilt:

$E = m \cdot g \cdot h \qquad g = 9{,}81\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}$

($m$ Masse in kg, $h$ Höhe in m, das Ergebnis ist in J.)

1. Miss die Höhe einer Treppe: Stufenhöhe mal Anzahl der Stufen.
2. Lauf die Treppe zügig, aber ohne zu rennen hinauf. Eine zweite Person stoppt die Zeit.
3. Berechne $E = m \cdot g \cdot h$ und daraus $P = \frac{E}{t}$.

Sicherheit: Halte dich am Geländer fest, lauf nicht mit anderen gleichzeitig, kein Wettrennen, keine Stufen überspringen. Wer gesundheitliche Einschränkungen hat (Asthma, Verletzungen), misst und protokolliert stattdessen. Deine Masse musst du niemandem sagen: Rechne mit einem angenommenen Wert, zum Beispiel 50 kg.

Beispiele

Beispiel 1: Treppenlauf

$m = 50\,\text{kg}$, 18 Stufen zu je 16,5 cm, also $h = 18 \cdot 0{,}165\,\text{m} \approx 3{,}0\,\text{m}$, $t = 6\,\text{s}$.

$E = 50\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 3{,}0\,\text{m} \approx 1470\,\text{J}$

$P = \frac{1470\,\text{J}}{6\,\text{s}} = 245\,\text{W}$

Das ist die Leistung, die nur in Lageenergie geht. Tatsächlich setzt der Körper mehr um, weil Muskeln einen großen Teil in thermische Energie umwandeln.

Beispiel 2: Wie lange braucht der Wasserkocher?

Ein Wasserkocher mit 2000 W soll 335 kJ ins Wasser bringen. Angenommen, alles geht ins Wasser: $t = \frac{335\,000\,\text{J}}{2000\,\text{W}} \approx 168\,\text{s}$, also knapp 3 Minuten. Eine Kochplatte mit 500 W bräuchte mindestens viermal so lange, über 11 Minuten.

Beispiel 3: Energie aus Leistung und Zeit

Ein Laptop (50 W) läuft 2 Stunden. $E = 50\,\text{W} \cdot 7200\,\text{s} = 360\,000\,\text{J} = 360\,\text{kJ}$.

Merksatz

Die Leistung $P = \frac{E}{t}$ gibt an, wie viel Energie pro Sekunde übertragen wird. Einheit: 1 W = 1 J/s. Je größer die Leistung, desto schneller wird eine bestimmte Energiemenge übertragen. Umgestellt: $E = P \cdot t$.

Übungen

Grundlagen

1. Ein Gerät überträgt in 10 s eine Energie von 5000 J. Berechne seine Leistung.
2. Rechne um: a) 2,5 kW in W, b) 8 MW in kW, c) 150 PS in kW.
3. Eine LED-Lampe (6 W) leuchtet 1 Stunde. Wie viel Energie wird übertragen?

Weiter

4. Ein Kran hebt eine Last von 400 kg in 20 s um 15 m. Berechne die Energie und die Leistung, die dafür mindestens nötig sind.
5. Zwei Schülerinnen laufen dieselbe Treppe (3 m) hinauf. Anna (45 kg) braucht 5 s, Lea (55 kg) braucht 6 s. Wer hat die größere Leistung?
6. Erkläre mit dem Begriff Leistung, warum ein Föhn eine dickere Zuleitung braucht als ein Ladegerät.

Knobeln

7. Ein Mensch kann auf Dauer etwa 100 W abgeben. Wie lange müsste er ununterbrochen auf einem Fahrradgenerator treten, um die Energie für einmal Wasserkochen (335 kJ) zu liefern, wenn der Generator einen Wirkungsgrad von 80 % hat?
8. Eine Windkraftanlage hat eine Nennleistung von 4 MW. Im Jahresmittel liefert sie wegen schwankenden Windes nur etwa ein Viertel davon. Wie viel Energie in Kilowattstunden liefert sie im Jahr ungefähr? (1 kWh = 3,6 MJ, ein Jahr hat 8760 Stunden.)

Lösungen

1. $P = \frac{5000\,\text{J}}{10\,\text{s}} = 500\,\text{W}$.
2. a) 2500 W, b) 8000 kW, c) $150 \cdot 0{,}735\,\text{kW} \approx 110\,\text{kW}$.
3. $E = 6\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s} = 21\,600\,\text{J} = 21{,}6\,\text{kJ}$.
4. $E = 400\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 15\,\text{m} = 58\,860\,\text{J} \approx 58{,}9\,\text{kJ}$. $P = \frac{58\,860\,\text{J}}{20\,\text{s}} \approx 2940\,\text{W} \approx 2{,}9\,\text{kW}$.
5. Anna: $E = 45 \cdot 9{,}81 \cdot 3 \approx 1324\,\text{J}$, $P \approx 265\,\text{W}$. Lea: $E = 55 \cdot 9{,}81 \cdot 3 \approx 1619\,\text{J}$, $P \approx 270\,\text{W}$. Lea hat eine etwas größere Leistung.
6. Ein Föhn hat eine große Leistung (etwa 2000 W). Bei gleicher Spannung von 230 V fließt dann ein großer Strom. Eine dünne Leitung würde sich dabei zu stark erwärmen. Ein Ladegerät überträgt nur wenige Watt.
7. Ins Wasser müssen 335 kJ, der Generator gibt 80 % der Tretenergie ab. Nötig sind $\frac{335\,\text{kJ}}{0{,}8} \approx 419\,\text{kJ}$. $t = \frac{419\,000\,\text{J}}{100\,\text{W}} \approx 4190\,\text{s}$, also etwa 70 Minuten.
8. Mittlere Leistung $1\,\text{MW} = 1000\,\text{kW}$. $E = 1000\,\text{kW} \cdot 8760\,\text{h} = 8\,760\,000\,\text{kWh}$, also rund 8,8 Millionen kWh im Jahr.