Ohmsches Gesetz und elektrischer Widerstand

Einstieg

Schließt man eine Lampe und einen dünnen Draht nacheinander an dieselbe Batterie an, fließen unterschiedlich große Ströme. Manche Bauteile lassen den Strom leicht durch, andere hemmen ihn stark. Diese Eigenschaft eines Bauteils heißt elektrischer Widerstand. Und bei manchen Bauteilen hängen Spannung und Stromstärke auf besonders einfache Weise zusammen.

Erklärung

Der elektrische Widerstand

Legt man an ein Bauteil eine Spannung $U$ an, fließt ein Strom $I$. Den Quotienten aus Spannung und Stromstärke nennt man den elektrischen Widerstand des Bauteils:

$R = \frac{U}{I}$

• Formelzeichen: $R$
• Einheit: 1 Ohm (1 Ω), benannt nach Georg Simon Ohm. $1\,\Omega = \frac{1\,\text{V}}{1\,\text{A}}$
• 1 Kiloohm (1 kΩ) $= 1000\,\Omega$

Je größer der Widerstand, desto kleiner ist bei gleicher Spannung die Stromstärke. Im Elektronenmodell: Die Elektronen werden im Bauteil stärker behindert.

Diese Gleichung ist eine Definition. Sie gilt für jedes Bauteil und jeden Messpunkt: Man misst $U$ und $I$ und rechnet $R$ aus.

Versuch: Wie hängt $I$ von $U$ ab?

Man baut die Messschaltung aus Lektion 3 auf: Netzgerät, Strommesser in Reihe, Spannungsmesser parallel zum Bauteil. Dann erhöht man die Spannung schrittweise und misst jeweils die Stromstärke. Untersucht werden ein Konstantandraht (eine Metallmischung, deren Widerstand sich bei Erwärmung kaum ändert) und eine Glühlampe für 6 V.

Beispielmesswerte:

$U$ in V	0	1	2	3	4	5	6
$I$ in A, Konstantandraht	0	0,07	0,13	0,20	0,27	0,33	0,40
$I$ in A, Glühlampe	0	0,15	0,22	0,27	0,32	0,36	0,40

Auswertung Konstantandraht: Der Graph ist eine Ursprungsgerade. Doppelte Spannung ergibt doppelte Stromstärke. $U$ und $I$ sind proportional. Der Quotient ist bei jedem Messpunkt gleich: $\frac{3\,\text{V}}{0{,}20\,\text{A}} = 15\,\Omega$, $\frac{6\,\text{V}}{0{,}40\,\text{A}} = 15\,\Omega$.

Auswertung Glühlampe: Der Graph ist gekrümmt. Bei 1 V ist $R = \frac{1\,\text{V}}{0{,}15\,\text{A}} \approx 6{,}7\,\Omega$, bei 6 V ist $R = \frac{6\,\text{V}}{0{,}40\,\text{A}} = 15\,\Omega$. Der Glühdraht wird heiß, und mit der Temperatur steigt sein Widerstand.

Das ohmsche Gesetz

Bei einem metallischen Leiter mit gleichbleibender Temperatur ist die Stromstärke proportional zur Spannung: $I \sim U$. Der Widerstand $R$ ist dann konstant.

In Je-desto-Form: Je größer die Spannung, desto größer die Stromstärke, und zwar im gleichen Verhältnis. Je größer der Widerstand, desto kleiner die Stromstärke bei gleicher Spannung.

Unterscheide genau:

• $R = \frac{U}{I}$ ist die Definition des Widerstands. Sie gilt immer, auch für die Glühlampe.
• Das ohmsche Gesetz sagt zusätzlich, dass $R$ konstant ist. Das gilt nur für bestimmte Bauteile und nur bei konstanter Temperatur. Die Glühlampe gehorcht dem ohmschen Gesetz nicht.

Probiere es aus: Verändere mit dem Regler den Widerstand $r$ (in Ω) und beobachte die Gerade. Auf der x-Achse steht die Spannung in V, auf der y-Achse die Stromstärke in A.

Je größer $R$, desto flacher verläuft die Gerade.

Gleichung umstellen

Aus $R = \frac{U}{I}$ folgt $U = R \cdot I$ und $I = \frac{U}{R}$.

Beispiele

Beispiel 1: Widerstand berechnen

An einem Bauteil liegen 12 V, es fließen 0,24 A. $R = \frac{12\,\text{V}}{0{,}24\,\text{A}} = 50\,\Omega$.

Beispiel 2: Stromstärke berechnen

Ein Widerstand von 220 Ω liegt an 4,5 V. $I = \frac{4{,}5\,\text{V}}{220\,\Omega} \approx 0{,}020\,\text{A} = 20\,\text{mA}$.

Beispiel 3: Spannung berechnen

Durch einen Heizdraht mit $R = 46\,\Omega$ sollen 5 A fließen. Nötig ist $U = 46\,\Omega \cdot 5\,\text{A} = 230\,\text{V}$.

Merksatz

Der elektrische Widerstand ist definiert als $R = \frac{U}{I}$, Einheit 1 Ω = 1 V/A. Ohmsches Gesetz: Bei Metalldrähten mit konstanter Temperatur ist $I$ proportional zu $U$, der Widerstand ist konstant. Bei einer Glühlampe steigt der Widerstand mit der Temperatur.

Übungen

Grundlagen

1. Berechne den Widerstand: a) $U = 6\,\text{V}$, $I = 0{,}3\,\text{A}$, b) $U = 230\,\text{V}$, $I = 0{,}5\,\text{A}$.
2. Ein Widerstand von 100 Ω liegt an 9 V. Berechne die Stromstärke in mA.
3. Ergänze in Je-desto-Form: Je größer der Widerstand bei gleicher Spannung, ...

Weiter

4. Prüfe, ob die folgenden Messwerte zu einem Bauteil passen, das dem ohmschen Gesetz gehorcht: $U$: 2 V, 4 V, 8 V; $I$: 0,10 A, 0,20 A, 0,35 A.
5. Durch einen Widerstand fließen bei 3 V genau 60 mA. Welche Stromstärke erwartest du bei 7,5 V, wenn das ohmsche Gesetz gilt?
6. Erkläre den Unterschied zwischen der Definition des Widerstands und dem ohmschen Gesetz am Beispiel der Glühlampe.

Knobeln

7. Der Widerstand eines Drahtes hängt von seiner Länge ab. Ein 1 m langer Konstantandraht hat 4 Ω. Plane einen Versuch, mit dem du prüfst, ob der Widerstand bei doppelter Länge doppelt so groß ist. Nenne die Größe, die du gleich halten musst.
8. Beim Einschalten brennt eine Glühlampe häufiger durch als im Betrieb. Erkläre mit den Messwerten aus der Lektion.

Lösungen

1. a) $R = \frac{6\,\text{V}}{0{,}3\,\text{A}} = 20\,\Omega$. b) $R = \frac{230\,\text{V}}{0{,}5\,\text{A}} = 460\,\Omega$.
2. $I = \frac{9\,\text{V}}{100\,\Omega} = 0{,}09\,\text{A} = 90\,\text{mA}$.
3. ... desto kleiner ist die Stromstärke.
4. $\frac{2}{0{,}10} = 20\,\Omega$, $\frac{4}{0{,}20} = 20\,\Omega$, $\frac{8}{0{,}35} \approx 22{,}9\,\Omega$. Der Quotient ist nicht konstant. Gehorchte das Bauteil dem ohmschen Gesetz, müssten bei 8 V 0,40 A fließen. Die Messwerte passen nicht (zum Beispiel, weil sich das Bauteil erwärmt hat).
5. $R = \frac{3\,\text{V}}{0{,}060\,\text{A}} = 50\,\Omega$. $I = \frac{7{,}5\,\text{V}}{50\,\Omega} = 0{,}15\,\text{A} = 150\,\text{mA}$.
6. Für jeden Messpunkt kann man $R = \frac{U}{I}$ berechnen, das ist die Definition. Bei der Glühlampe ergeben sich aber verschiedene Werte (6,7 Ω bei 1 V, 15 Ω bei 6 V). Das ohmsche Gesetz verlangt einen konstanten Widerstand. Es gilt für die Glühlampe deshalb nicht, weil sich ihr Draht stark erwärmt.
7. Konstantandraht von 1 m und 2 m Länge mit gleichem Querschnitt aus demselben Material nacheinander an dieselbe Spannung (zum Beispiel 2 V) legen und jeweils die Stromstärke messen. Daraus $R$ berechnen. Gleich halten: Material, Querschnitt (Dicke), Spannung und Temperatur. Erwartung: 8 Ω beim 2 m langen Draht.
8. Der kalte Glühdraht hat einen kleineren Widerstand als der heiße (in der Lektion 6,7 Ω bei kleiner Spannung gegenüber 15 Ω im Betrieb). Beim Einschalten an voller Spannung fließt deshalb kurz ein deutlich größerer Strom. Der Draht wird an dünnen Stellen sehr schnell erhitzt und reißt.