Reihenschaltung und Parallelschaltung berechnen

Einstieg

Bei einer alten Lichterkette geht manchmal eine Lampe kaputt, und die ganze Kette wird dunkel. Fällt dagegen in der Küche eine Lampe aus, laufen Kühlschrank und Herd weiter. Die Geräte sind auf verschiedene Weise verschaltet: einmal hintereinander, einmal nebeneinander.

Erklärung

Reihenschaltung

Bei der Reihenschaltung liegen die Bauteile hintereinander in einem einzigen, unverzweigten Kreis.

• Stromstärke: überall gleich. $I = I_1 = I_2$
• Spannung: Die Spannung der Quelle teilt sich auf die Bauteile auf. $U = U_1 + U_2$ (Maschenregel)
• Widerstand: Die Widerstände addieren sich. $R = R_1 + R_2$
• Wird ein Bauteil entfernt oder geht kaputt, ist der ganze Kreis unterbrochen.

Am größeren Widerstand liegt die größere Teilspannung.

Parallelschaltung

Bei der Parallelschaltung teilt sich die Leitung an einem Knoten in mehrere Zweige. Jedes Bauteil liegt in einem eigenen Zweig.

• Spannung: An jedem Zweig liegt die volle Spannung der Quelle. $U = U_1 = U_2$
• Stromstärke: Die Ströme in den Zweigen addieren sich. $I = I_1 + I_2$ (Knotenregel: Was in einen Knoten hineinfließt, fließt auch wieder hinaus.)
• Widerstand: Der Gesamtwiderstand ist kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Jeder neue Zweig ist ein zusätzlicher Weg für den Strom.
• Fällt ein Bauteil aus, arbeiten die anderen weiter.

Im Haushalt sind alle Steckdosen und Lampen parallel geschaltet. So bekommt jedes Gerät 230 V und kann einzeln geschaltet werden.

Knoten- und Maschenregel im Überblick

	Reihenschaltung	Parallelschaltung
Stromstärke	überall gleich	addiert sich: $I = I_1 + I_2$
Spannung	addiert sich: $U = U_1 + U_2$	überall gleich
Gesamtwiderstand	$R = R_1 + R_2$	kleiner als jeder Einzelwiderstand

Beispiele

Beispiel 1: Reihenschaltung berechnen

$R_1 = 10\,\Omega$ und $R_2 = 20\,\Omega$ liegen in Reihe an $U = 6\,\text{V}$.

• Gesamtwiderstand: $R = 10\,\Omega + 20\,\Omega = 30\,\Omega$
• Stromstärke: $I = \frac{6\,\text{V}}{30\,\Omega} = 0{,}2\,\text{A}$, in beiden Widerständen gleich
• Teilspannungen: $U_1 = 10\,\Omega \cdot 0{,}2\,\text{A} = 2\,\text{V}$, $U_2 = 20\,\Omega \cdot 0{,}2\,\text{A} = 4\,\text{V}$
• Probe mit der Maschenregel: $2\,\text{V} + 4\,\text{V} = 6\,\text{V}$

Beispiel 2: Parallelschaltung berechnen

Dieselben Widerstände liegen parallel an $U = 6\,\text{V}$.

• An beiden liegen 6 V.
• $I_1 = \frac{6\,\text{V}}{10\,\Omega} = 0{,}6\,\text{A}$, $I_2 = \frac{6\,\text{V}}{20\,\Omega} = 0{,}3\,\text{A}$
• Knotenregel: $I = 0{,}6\,\text{A} + 0{,}3\,\text{A} = 0{,}9\,\text{A}$
• Gesamtwiderstand: $R = \frac{6\,\text{V}}{0{,}9\,\text{A}} \approx 6{,}7\,\Omega$, kleiner als 10 Ω

Beispiel 3: Mehrfachsteckdose

An einer Steckdosenleiste (230 V) laufen ein Wasserkocher (8,7 A) und ein Toaster (3,9 A). In der Zuleitung fließen $8{,}7\,\text{A} + 3{,}9\,\text{A} = 12{,}6\,\text{A}$. Jedes weitere Gerät erhöht den Strom in der Zuleitung. Darum darf man an eine Steckdosenleiste nicht beliebig viele große Geräte anschließen.

Merksatz

Reihenschaltung: gleiche Stromstärke überall, die Spannungen addieren sich (Maschenregel), die Widerstände addieren sich. Parallelschaltung: gleiche Spannung an allen Zweigen, die Ströme addieren sich (Knotenregel), der Gesamtwiderstand wird kleiner.

Übungen

Grundlagen

1. Drei Lampen sind in Reihe an 12 V angeschlossen. An zwei Lampen misst man je 3 V. Welche Spannung liegt an der dritten?
2. In einer Parallelschaltung fließen in den Zweigen 0,2 A, 0,5 A und 0,3 A. Berechne die Stromstärke im Hauptzweig.
3. Begründe, warum die Geräte im Haushalt parallel geschaltet sind.

Weiter

4. $R_1 = 40\,\Omega$ und $R_2 = 80\,\Omega$ liegen in Reihe an 24 V. Berechne Gesamtwiderstand, Stromstärke und beide Teilspannungen.
5. Dieselben Widerstände liegen parallel an 24 V. Berechne die Zweigströme, den Gesamtstrom und den Gesamtwiderstand.
6. Eine Lichterkette mit 20 gleichen Lampen in Reihe hängt an 230 V. Welche Spannung liegt an jeder Lampe? Erkläre, warum alle Lampen ausgehen, wenn eine durchbrennt.

Knobeln

7. Zeichne eine Schaltung, in der zwei Lampen parallel liegen und jede einzeln geschaltet werden kann. Wo muss ein dritter Schalter liegen, der beide gemeinsam ausschaltet?
8. Zwei gleiche Widerstände von je 100 Ω liegen parallel. Zeige mit einer Rechnung bei einer beliebigen Spannung, dass der Gesamtwiderstand 50 Ω beträgt.

Lösungen

1. Maschenregel: $12\,\text{V} - 3\,\text{V} - 3\,\text{V} = 6\,\text{V}$.
2. Knotenregel: $0{,}2\,\text{A} + 0{,}5\,\text{A} + 0{,}3\,\text{A} = 1{,}0\,\text{A}$.
3. Jedes Gerät bekommt die volle Spannung von 230 V, für die es gebaut ist. Jedes kann einzeln ein- und ausgeschaltet werden, und fällt ein Gerät aus, laufen die anderen weiter.
4. $R = 40\,\Omega + 80\,\Omega = 120\,\Omega$. $I = \frac{24\,\text{V}}{120\,\Omega} = 0{,}2\,\text{A}$. $U_1 = 40\,\Omega \cdot 0{,}2\,\text{A} = 8\,\text{V}$, $U_2 = 80\,\Omega \cdot 0{,}2\,\text{A} = 16\,\text{V}$. Probe: $8\,\text{V} + 16\,\text{V} = 24\,\text{V}$.
5. $I_1 = \frac{24\,\text{V}}{40\,\Omega} = 0{,}6\,\text{A}$, $I_2 = \frac{24\,\text{V}}{80\,\Omega} = 0{,}3\,\text{A}$, $I = 0{,}9\,\text{A}$. $R = \frac{24\,\text{V}}{0{,}9\,\text{A}} \approx 26{,}7\,\Omega$.
6. $230\,\text{V} : 20 = 11{,}5\,\text{V}$ je Lampe. In der Reihenschaltung gibt es nur einen Weg für den Strom. Brennt eine Lampe durch, ist der Kreis unterbrochen, und durch keine Lampe fließt mehr Strom.
7. Jede Lampe bekommt in ihrem Zweig einen eigenen Schalter. Der gemeinsame Schalter liegt im Hauptzweig, also zwischen Quelle und Knoten (oder zwischen dem zweiten Knoten und der Quelle).
8. Zum Beispiel bei 10 V: Jeder Zweig führt $\frac{10\,\text{V}}{100\,\Omega} = 0{,}1\,\text{A}$, zusammen 0,2 A. $R = \frac{10\,\text{V}}{0{,}2\,\text{A}} = 50\,\Omega$. Bei jeder anderen Spannung ergibt sich derselbe Wert, weil sich beide Ströme im gleichen Verhältnis ändern.