Lageenergie und Bewegungsenergie berechnen

Einstieg: Warum so hoch oben?

Die Staumauer der Grande Dixence im Wallis ist 285 m hoch. Dahinter liegt der Lac des Dix auf rund 2360 m über Meer. Das Wasser fliesst durch Stollen und Druckleitungen bis ins Rhonetal hinunter. Im Kraftwerk Bieudron fällt es fast 1900 m tief. Warum baut man Stauseen so hoch in die Berge? Mit einer Formel für die Lageenergie kannst du das selbst ausrechnen.

Erklärung: Drei Formeln

Lageenergie

Ein Körper mit der Masse $m$, der um die Höhe $h$ angehoben wurde, hat gegenüber dem Ausgangsniveau die Lageenergie

$E_\text{L} = m \cdot g \cdot h$

Dabei ist $g = 9{,}81\ \text{N/kg}$ der Ortsfaktor. Er beschreibt, wie stark die Erde an jedem Kilogramm zieht. Für Überschlagsrechnungen darfst du mit $g \approx 10\ \text{N/kg}$ rechnen. Mit $m$ in kg und $h$ in m erhältst du die Energie in Joule.

Bewegungsenergie

Ein Körper mit der Masse $m$ und der Geschwindigkeit $v$ hat die Bewegungsenergie

$E_\text{B} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

Die Geschwindigkeit muss in m/s eingesetzt werden. Zur Umrechnung teilst du km/h durch 3,6. Weil $v$ im Quadrat steht, hat ein doppelt so schnelles Velo die vierfache Bewegungsenergie.

Elektrische Energie

Ein elektrisches Gerät mit der Leistung $P$ in Watt, das während der Zeit $t$ in Sekunden läuft, wandelt die elektrische Energie

$E_\text{el} = P \cdot t$

um. Für Haushalte ist das Joule eine sehr kleine Einheit. Auf der Stromrechnung steht deshalb die Kilowattstunde:

$1\ \text{kWh} = 1000\ \text{W} \cdot 3600\ \text{s} = 3\,600\,000\ \text{J} = 3{,}6\ \text{MJ}$

Beispiele

Beispiel 1: Ein Kubikmeter Wasser aus dem Lac des Dix Ein Kubikmeter Wasser hat eine Masse von 1000 kg. Die Fallhöhe bis Bieudron beträgt rund 1880 m.

$E_\text{L} = 1000\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 1880\ \text{m} \approx 18\,400\,000\ \text{J} = 18{,}4\ \text{MJ}$

In Kilowattstunden: $18{,}4\ \text{MJ} : 3{,}6\ \text{MJ} \approx 5{,}1\ \text{kWh}$. Ein Kubikmeter Wasser aus dem Rhein, der in einem Laufkraftwerk nur 10 m fällt, liefert dagegen bloss rund 0,03 kWh. Hohe Fallhöhen lohnen sich.

Beispiel 2: Der Schlitten Du (50 kg) startest mit dem Schlitten (5 kg) 20 m über dem Ende der Piste.

$E_\text{L} = 55\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 20\ \text{m} \approx 10\,800\ \text{J}$

Ohne Reibung würde alles in Bewegungsenergie umgewandelt:

$\tfrac{1}{2} \cdot 55\ \text{kg} \cdot v^2 = 10\,800\ \text{J} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\tfrac{2 \cdot 10\,800}{55}}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 19{,}8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 71\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$

In Wirklichkeit bist du viel langsamer, weil Reibung im Schnee und Luftwiderstand einen grossen Teil in Wärme umwandeln.

Beispiel 3: Der Wasserkocher Ein Wasserkocher mit 2000 W läuft 3 Minuten.

$E_\text{el} = 2000\ \text{W} \cdot 180\ \text{s} = 360\,000\ \text{J} = 0{,}1\ \text{kWh}$

Bei einem Strompreis von 30 Rappen pro kWh kostet das 3 Rappen.

Merksatz

Lageenergie: $E_\text{L} = m \cdot g \cdot h$. Bewegungsenergie: $E_\text{B} = \tfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$. Elektrische Energie: $E_\text{el} = P \cdot t$. Einheit ist das Joule, im Haushalt die Kilowattstunde: 1 kWh = 3,6 MJ.

Übungen

Grundlagen

1. Berechne die Lageenergie einer 2 kg schweren Schultasche, die du 1,5 m hoch auf ein Regal stellst.
2. Ein Velo mit Fahrerin (zusammen 70 kg) fährt mit 18 km/h. Berechne die Bewegungsenergie.
3. Ein Fernseher mit 100 W läuft 3 Stunden. Wie viele kWh sind das?

Weiter

4. Wie hoch müsste man die Schultasche aus Aufgabe 1 heben, damit sie so viel Lageenergie hat wie das Velo aus Aufgabe 2 Bewegungsenergie?
5. Ein Auto fährt zuerst mit 50 km/h, dann mit 100 km/h. Um welchen Faktor nimmt die Bewegungsenergie zu? Was bedeutet das für den Bremsweg?
6. Wie viele Kubikmeter Wasser müssen aus dem Lac des Dix durch Bieudron fliessen, damit 1 MWh elektrische Energie entsteht? Rechne mit einem Wirkungsgrad von 90 Prozent.

Knobeln

7. Eine Familie braucht im Jahr rund 4000 kWh Strom. Wie viele Kubikmeter Wasser aus dem Lac des Dix entsprechen dem, wenn man Verluste vernachlässigt?
8. Ein Ball (0,5 kg) wird mit 10 m/s senkrecht hochgeworfen. Wie hoch steigt er höchstens? Warum steigt er in Wirklichkeit weniger hoch?

Lösungen

1. $E_\text{L} = 2\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 1{,}5\ \text{m} \approx 29\ \text{J}$.
2. $v = 18 : 3{,}6 = 5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. $E_\text{B} = \tfrac{1}{2} \cdot 70\ \text{kg} \cdot (5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}})^2 = 875\ \text{J}$.
3. $E = 0{,}1\ \text{kW} \cdot 3\ \text{h} = 0{,}3\ \text{kWh}$.
4. $h = E : (m \cdot g) = 875\ \text{J} : (2\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}) \approx 44{,}6\ \text{m}$. Die Tasche müsste also auf ein Hochhausdach.
5. Die Geschwindigkeit verdoppelt sich, die Bewegungsenergie vervierfacht sich ($2^2 = 4$). Die Bremsen müssen viermal so viel Energie in Wärme umwandeln. Bei gleicher Bremskraft ist der Bremsweg viermal so lang.
6. 1 MWh = 1000 kWh. Pro m³ entstehen $5{,}1\ \text{kWh} \cdot 0{,}9 \approx 4{,}6\ \text{kWh}$. Nötig sind $1000 : 4{,}6 \approx 217$ m³.
7. $4000\ \text{kWh} : 5{,}1\ \tfrac{\text{kWh}}{\text{m}^3} \approx 780$ m³. Das ist etwa ein Würfel mit 9,2 m Kantenlänge.
8. $E_\text{B} = \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 10^2 = 25\ \text{J}$. Im höchsten Punkt ist alles Lageenergie: $h = 25\ \text{J} : (0{,}5\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}) \approx 5{,}1\ \text{m}$. In Wirklichkeit bremst der Luftwiderstand den Ball, ein Teil der Energie wird zu Wärme.