Arbeit und Leistung berechnen

Einstieg: Gleiche Treppe, andere Leistung

Zwei Schüler steigen dieselbe Treppe im Schulhaus hoch. Lea braucht 8 Sekunden, Tim schlendert und braucht 20 Sekunden. Beide sind gleich schwer. Haben beide gleich viel Energie umgewandelt? Und wer hat mehr geleistet? Um diese Fragen zu beantworten, brauchst du zwei neue Begriffe: Arbeit und Leistung.

Erklärung: Arbeit und Leistung

Arbeit

Wenn eine Kraft einen Körper entlang eines Weges bewegt, wird Arbeit verrichtet. Dabei wird Energie übertragen. Wirkt die Kraft $F$ in Richtung des Weges $s$, gilt:

$W = F \cdot s$

Die Einheit ist das Joule: $1\ \text{J} = 1\ \text{N} \cdot \text{m}$. Hebst du einen Körper an, musst du seine Gewichtskraft $F_\text{G} = m \cdot g$ überwinden. Die Hubarbeit ist dann $W = m \cdot g \cdot h$. Sie ist genau so gross wie die Lageenergie, die der Körper danach hat. Arbeit beschreibt also, wie viel Energie übertragen oder umgewandelt wird.

Leistung

Die Leistung gibt an, wie schnell Energie umgewandelt wird:

$P = \frac{E}{t} \qquad \text{bzw.} \qquad P = \frac{W}{t}$

Die Einheit ist das Watt (W): $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$. Grosse Leistungen gibt man in Kilowatt (kW) oder Megawatt (MW) an.

Beispiel	Leistung ungefähr
Ladegerät für das Handy	5 bis 25 W
LED-Lampe	5 bis 10 W
Mensch beim Velofahren über längere Zeit	100 bis 200 W
Wasserkocher	2000 W = 2 kW
Elektroauto beim Beschleunigen	100 kW und mehr
Pumpspeicherkraftwerk Nant de Drance	900 MW
Kraftwerk Bieudron (Grande Dixence)	rund 1260 MW

Pass auf: W steht für die Arbeit (eine Grösse) und für Watt (eine Einheit). Aus dem Zusammenhang wird klar, was gemeint ist.

Versuch: Deine Leistung beim Treppensteigen

Frage: Welche mechanische Leistung bringst du beim Treppensteigen?

Material: Treppe mit mindestens 10 Stufen, Massband oder Meterstab, Stoppuhr, Personenwaage (oder du verwendest deine bekannte Masse).

Durchführung:

1. Miss die Höhe einer Stufe und zähle die Stufen. Berechne die Höhe $h$ der Treppe.
2. Steige die Treppe zügig, aber kontrolliert hoch. Eine Partnerin stoppt die Zeit $t$.
3. Berechne die Hubarbeit $W = m \cdot g \cdot h$ und die Leistung $P = W : t$.

Sicherheit: Nicht rennen und keine Stufen überspringen, eine Hand am Geländer. Kein Wettrennen. Wer gesundheitliche Einschränkungen hat, misst die Zeit für die anderen. Die Masse jeder Person ist privat: Du kannst auch mit einem angenommenen Wert von 50 kg rechnen.

Beispiele

Beispiel 1: Lea und Tim Beide haben 50 kg, die Treppe ist 6 m hoch.

$W = 50\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 6\ \text{m} \approx 2940\ \text{J}$

Lea: $P = 2940\ \text{J} : 8\ \text{s} \approx 370\ \text{W}$. Tim: $P = 2940\ \text{J} : 20\ \text{s} \approx 150\ \text{W}$. Beide haben gleich viel Arbeit verrichtet, Lea aber mit mehr als der doppelten Leistung. Dazu kommt Energie, die der Körper als Wärme abgibt. Deshalb ist Lea oben stärker ausser Atem.

Beispiel 2: Wie lange braucht der Wasserkocher? Um 1 Liter Wasser von 20 °C auf 100 °C zu erwärmen, braucht es rund 335 kJ. Ein Wasserkocher mit 2000 W und einem Wirkungsgrad von 90 Prozent gibt 1800 J pro Sekunde an das Wasser ab.

$t = \frac{335\,000\ \text{J}}{1800\ \text{W}} \approx 186\ \text{s} \approx 3\ \text{min}$

Beispiel 3: Ein Velo als Kraftwerk? Eine Velofahrerin hält 150 W eine Stunde lang durch. Sie wandelt dann $150\ \text{W} \cdot 1\ \text{h} = 0{,}15\ \text{kWh}$ in mechanische Energie um. Das reicht, um einen Wasserkocher gut vier Minuten zu betreiben. Hier zeigt sich, wie viel Arbeit in einer einzigen Kilowattstunde steckt.

Merksatz

Arbeit ist übertragene Energie: $W = F \cdot s$, beim Heben $W = m \cdot g \cdot h$. Leistung ist umgewandelte Energie pro Zeit: $P = E : t$, Einheit Watt (1 W = 1 J/s). Gleiche Arbeit in kürzerer Zeit bedeutet grössere Leistung.

Übungen

Grundlagen

1. Eine Lampe wandelt in 10 s 80 J um. Berechne die Leistung.
2. Ein Kran hebt eine Last von 500 kg um 12 m. Berechne die Hubarbeit.
3. Der Kran aus Aufgabe 2 braucht dafür 30 s. Berechne seine Leistung.

Weiter

4. Ein Akku eines Handys speichert rund 15 Wh. Wie lange kann ein Ladegerät mit 10 W ihn laden, wenn man Verluste vernachlässigt? Wie viele Joule sind 15 Wh?
5. Wie lange müsstest du bei 150 W Velo fahren, um die Energie einer Tafel Schokolade (rund 2200 kJ) mechanisch umzusetzen?
6. Werte den Treppenversuch aus: 55 kg, 15 Stufen zu je 17 cm, 6,5 s. Berechne die Leistung.

Knobeln

7. Das Pumpspeicherkraftwerk Nant de Drance kann rund 20 GWh speichern und mit 900 MW Leistung abgeben. Wie viele Stunden kann es mit voller Leistung laufen?
8. Ein Lift hebt 8 Personen zu je 75 kg in 20 s um 15 m. Der Motor hat eine Leistung von 7,5 kW. Berechne den Wirkungsgrad.

Lösungen

1. $P = 80\ \text{J} : 10\ \text{s} = 8\ \text{W}$.
2. $W = 500\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 12\ \text{m} \approx 58\,900\ \text{J}$.
3. $P = 58\,900\ \text{J} : 30\ \text{s} \approx 1960\ \text{W} \approx 2\ \text{kW}$.
4. $t = 15\ \text{Wh} : 10\ \text{W} = 1{,}5\ \text{h}$. $15\ \text{Wh} = 15\ \text{W} \cdot 3600\ \text{s} = 54\,000\ \text{J}$.
5. $t = 2\,200\,000\ \text{J} : 150\ \text{W} \approx 14\,700\ \text{s} \approx 4\ \text{h}$. Der Körper wandelt aber nur rund ein Viertel der Nahrungsenergie in mechanische Energie um. In Wirklichkeit reicht die Schokolade also für etwa eine Stunde Velofahren.
6. $h = 15 \cdot 0{,}17\ \text{m} = 2{,}55\ \text{m}$. $W = 55 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}55 \approx 1376\ \text{J}$. $P = 1376\ \text{J} : 6{,}5\ \text{s} \approx 212\ \text{W}$.
7. $t = 20\,000\ \text{MWh} : 900\ \text{MW} \approx 22\ \text{h}$.
8. Nutzarbeit: $W = 600\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 15\ \text{m} \approx 88\,300\ \text{J}$. Nutzleistung: $88\,300\ \text{J} : 20\ \text{s} \approx 4400\ \text{W}$. Wirkungsgrad: $4{,}4\ \text{kW} : 7{,}5\ \text{kW} \approx 0{,}59 = 59\ \%$.