Widerstand und Ohmsches Gesetz

Einstieg: Gleiche Spannung, verschiedene Ströme

Du schliesst nacheinander drei Bauteile an dieselbe Flachbatterie an: ein Lämpchen, einen langen dünnen Draht und einen kurzen dicken Draht. Das Amperemeter zeigt jedes Mal einen anderen Wert. Offenbar lassen die Bauteile den Strom unterschiedlich gut durch. Diese Eigenschaft heisst elektrischer Widerstand.

Erklärung: Widerstand und Ohmsches Gesetz

Der elektrische Widerstand

Der Widerstand $R$ eines Bauteils gibt an, welche Spannung nötig ist, damit ein bestimmter Strom fliesst:

$R = \frac{U}{I}$

Die Einheit ist das Ohm ($\Omega$): $1\ \Omega = 1\ \tfrac{\text{V}}{\text{A}}$. Ein Bauteil hat einen Widerstand von 1 Ohm, wenn bei 1 V Spannung ein Strom von 1 A fliesst.

Der Widerstand eines Drahtes ist umso grösser,

• je länger der Draht ist,
• je dünner der Draht ist,
• je schlechter der Stoff leitet (Konstantan oder Eisen leiten schlechter als Kupfer),
• und bei Metallen meist auch, je heisser der Draht ist.

Das Ohmsche Gesetz

Für viele metallische Leiter gilt bei gleichbleibender Temperatur: Verdoppelt man die Spannung, verdoppelt sich auch die Stromstärke. Stromstärke und Spannung sind proportional:

$I \sim U \qquad \text{bzw.} \qquad U = R \cdot I \quad \text{mit konstantem } R$

Das ist das Ohmsche Gesetz, benannt nach Georg Simon Ohm. Ein Bauteil, für das es gilt, heisst ohmscher Widerstand. Im $I$-$U$-Diagramm liegen seine Messwerte auf einer Geraden durch den Ursprung.

Versuch: Kennlinien aufnehmen

Material: regelbares Netzgerät (Kleinspannung), Konstantandraht auf Brett oder Widerstand 10 Ω, Lämpchen 6 V, zwei Multimeter, Kabel.

Durchführung: Baue den Konstantandraht mit Amperemeter in Serie und Voltmeter parallel ein. Erhöhe die Spannung in Schritten von 1 V bis 6 V und notiere jeweils die Stromstärke. Wiederhole die Messung mit dem Lämpchen.

Sicherheit: Nur Kleinspannung vom Netzgerät verwenden, nie die Steckdose. Spannung erst einschalten, wenn die Lehrperson die Schaltung geprüft hat. Der Draht kann bei längerem Betrieb warm werden: nicht anfassen, zwischen den Messungen ausschalten.

Beispielwerte:

$U$ in V	0	1	2	3	4	5	6
$I$ Draht in A	0	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60
$I$ Lämpchen in A	0	0,15	0,22	0,28	0,33	0,38	0,42

Beispiele

Beispiel 1: Der Draht ist ohmsch Für jede Messung ergibt $R = U : I$ denselben Wert, zum Beispiel $3\ \text{V} : 0{,}30\ \text{A} = 10\ \Omega$ und $6\ \text{V} : 0{,}60\ \text{A} = 10\ \Omega$. Die Kennlinie ist eine Gerade durch den Ursprung. Für den Konstantandraht gilt das Ohmsche Gesetz.

Beispiel 2: Das Lämpchen ist nicht ohmsch Bei 1 V: $R = 1\ \text{V} : 0{,}15\ \text{A} \approx 6{,}7\ \Omega$. Bei 6 V: $R = 6\ \text{V} : 0{,}42\ \text{A} \approx 14{,}3\ \Omega$. Der Widerstand wächst, weil der Glühdraht mit steigender Stromstärke heisser wird. Die Kennlinie krümmt sich nach unten.

Beispiel 3: Rechnen mit dem Ohmschen Gesetz Ein Widerstand von 47 Ω liegt an 9 V. Wie gross ist die Stromstärke?

$I = \frac{U}{R} = \frac{9\ \text{V}}{47\ \Omega} \approx 0{,}19\ \text{A} = 190\ \text{mA}$

Merksatz

Der Widerstand $R = U : I$ (Einheit Ohm, $\Omega$) beschreibt, wie stark ein Bauteil den Strom hemmt. Er wächst mit der Länge des Drahtes, sinkt mit seinem Querschnitt und hängt vom Stoff ab. Ohmsches Gesetz: Bei konstanter Temperatur ist $I$ proportional zu $U$, also $U = R \cdot I$.

Übungen

Grundlagen

1. Berechne den Widerstand: $U = 12$ V, $I = 0{,}4$ A.
2. Durch einen Widerstand von 220 Ω fliessen 20 mA. Wie gross ist die Spannung?
3. Wie verändert sich der Widerstand eines Drahtes, wenn du ihn doppelt so lang nimmst?

Weiter

4. Prüfe mit den Beispielwerten, ob der Konstantandraht bei 4 V denselben Widerstand hat wie bei 2 V.
5. Ein Lämpchen hat kalt einen Widerstand von 2 Ω, leuchtend einen von 12 Ω. Erkläre den Unterschied. Warum brennen Glühlampen meist beim Einschalten durch?
6. Woran erkennst du im $I$-$U$-Diagramm, welches von zwei ohmschen Bauteilen den grösseren Widerstand hat?

Knobeln

7. Der menschliche Körper hat bei trockener Haut einen Widerstand von grob 1000 bis 3000 Ω, bei nasser Haut deutlich weniger. Ab etwa 30 mA kann Strom lebensgefährlich werden. Berechne die Stromstärke bei 230 V und 1000 Ω und bei 12 V und 1000 Ω. Was folgt für das Experimentieren?
8. Zwei Drähte aus demselben Material sind gleich lang, der eine hat den doppelten Querschnitt. Welcher hat den kleineren Widerstand? Erkläre mit dem Wassermodell.

Lösungen

1. $R = 12\ \text{V} : 0{,}4\ \text{A} = 30\ \Omega$.
2. $U = 220\ \Omega \cdot 0{,}020\ \text{A} = 4{,}4\ \text{V}$.
3. Der Widerstand verdoppelt sich.
4. Bei 4 V: $4 : 0{,}40 = 10\ \Omega$. Bei 2 V: $2 : 0{,}20 = 10\ \Omega$. Ja, der Widerstand ist gleich.
5. Der Glühdraht ist leuchtend sehr heiss, und der Widerstand von Metallen steigt mit der Temperatur. Im kalten Zustand ist der Widerstand klein, beim Einschalten fliesst deshalb kurz ein sehr grosser Strom. Diese plötzliche Belastung lässt den dünnen Draht oft genau dann durchbrennen.
6. Das Bauteil mit dem grösseren Widerstand hat die flachere Gerade: Bei gleicher Spannung fliesst weniger Strom.
7. Bei 230 V: $I = 230 : 1000 = 0{,}23\ \text{A} = 230\ \text{mA}$, weit über der gefährlichen Grenze. Bei 12 V: $I = 12 : 1000 = 0{,}012\ \text{A} = 12\ \text{mA}$, unter der Grenze. Bei so kleiner Spannung ist der Widerstand trockener Haut sogar viel grösser, der Strom also noch kleiner. Deshalb wird in der Schule nur mit Kleinspannung experimentiert, und die Steckdose ist tabu.
8. Der Draht mit dem doppelten Querschnitt hat den kleineren Widerstand, nämlich die Hälfte. Im Wassermodell fliesst durch ein doppelt so dickes Rohr bei gleichem Druck doppelt so viel Wasser.